位相線型空間

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線型位相空間

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/12 07:34 UTC 版)

数学における線型位相空間（せんけいいそうくうかん、英語: linear topological space）とは、ベクトル空間の構造（線型演算）とその構造に両立する位相構造を持ったもののことである。係数体は実数体 R や複素数体 C などの位相体であり、ベクトルの加法やスカラー倍などの演算が連続写像になっていることが要請される。線型位相空間においては、通常のベクトル空間におけるような代数的な操作に加えて、興味のあるベクトルを他のベクトルで近似することが可能になり、関数解析学における基本的な枠組みが与えられる。

ベクトル空間の代数的な構造はその次元のみによって完全に分類されるが、特に無限次元のベクトル空間に対してその上に考えられる位相には様々なものがある。有限次元の実・複素ベクトル空間上の、意義のある位相はそれぞれの空間に対して一意的に決まってしまうことから、この多様性は無限次元に特徴的なものといえる。

定義

位相体 K 上の線型空間 E で、線型空間としてのベクトル和とスカラー積が連続写像になっているものは線型位相空間とよばれる。すなわち、E は加法

$E\times E\to E;\ (u,v)\mapsto u+v$

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• 赤池弘次、ほか『岩波数学辞典』日本数学会編、岩波書店、東京、1985年、第3版。ISBN 4000800167。NCID BN00086340。
• ブルバキ, ニコラ『位相線型空間 1』小針 宏, 清水達雄訳、東京図書〈ブルバキ数学原論 20〉、東京、1986年10月15日。ISBN 4489002033。
  • ブルバキ 20, ニコラ『位相線型空間 2』小針 宏, 清水達雄訳、東京図書〈ブルバキ数学原論 21〉、東京、1986年10月15日。ISBN 4489002041。
  • ブルバキ, ニコラ『位相線型空間 要約』小針 宏, 清水達雄訳、東京図書〈ブルバキ数学原論 22〉、東京、1986年10月15日。ISBN 448900205X。
• Lax, Peter (2002). Functional Analysis. New York: Wiley-Interscience. ISBN 0471556041. NCID BA56608154 

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位相線型空間

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/09 02:06 UTC 版)

「距離空間」の記事における「位相線型空間」の解説

実数または複素数体上のノルム空間は、二つの元の間の距離をそれらの差のノルムとして定めると距離空間と見なせる。こうして得られる距離空間のうち完備なものはバナッハ空間と呼ばれ、関数解析学における主要な枠組みの一つとなっている。 ノルムによって位相が定まっているとは限らない位相線型空間のうち、平行移動不変な距離について完備空間となっているものはフレシェ空間と呼ばれる。バナッハ空間のほかに、微分多様体上の滑らかな関数のなす空間や、急減少数列のなす空間などがフレシェ空間の例になっている。