幾何学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/03 11:31 UTC 版)
三次元球面は自然に滑らかな多様体（実は R4への閉埋蔵多様体（英語版））になる。 R4 上のユークリッド距離から三次元球面上の距離が導かれ、三次元球面はリーマン多様体となる。任意の二次元球面がそうであったように、任意の三次元球面も一定の正の断面曲率を持ち、その値は半径を r とすれば 1/r2 に等しい。 三次元球面の興味深い幾何学的性質には、それが（四元数の乗法によって与えられる）自然なリー群構造を持つという事実に由来するものがたくさんある（後述）。ほかの次元の球面で同様の構造を持つものは、零次元および一次元（円周群）に限られる。 二次元球面の場合と異なり、三次元球面上では至る所消えないベクトル場（接束の切断）を持つ。さらには、至る所消えないベクトル場の線型独立な三つ組さえ存在する（そのようなものとして、三次元球面のリー環の基底となるような左不変ベクトル場の任意の組をとることができる）。このことから、三次元球面は平行化可能（英語版）であることが分かる。したがって三次元球面の接束は自明である。一般次元の球面における線型独立なベクトル場の数に関する一般の議論は球面上のベクトル場（英語版）の項を参照せよ。 三次元球面への円周群 T の興味深い群作用が存在して、S3 にはホップ束（英語版）と呼ばれる主円束（英語版）の構造が入る。S3 を C2 の部分集合と見る観点ならば、この作用は ( z 1 , z 2 ) ⋅ λ := ( z 1 λ , z 2 λ ) ( ∀ λ ∈ T ) {\displaystyle (z_{1},z_{2})\cdot \lambda :=(z_{1}\lambda ,z_{2}\lambda )\quad (\forall \lambda \in \mathbb {T} )} で与えられる。この作用の軌道空間（英語版）は二次元球面 S2 に同相である。S3 は S2 × S1 に同相でないから、ホップ束は自明でない。
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幾何学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/08 06:25 UTC 版)
ノルム空間 V のノルム p = ‖•‖ に対し、2変数の実数値関数 dp : V × V → R を d p ( x , y ) = ‖ x − y ‖ {\displaystyle d_{p}(x,y)=\lVert x-y\rVert } で定めて、dp をノルム ‖•‖ の定めるまたは誘導する距離という。dp が V の距離函数を定めることはノルムの定義から直ちに分かる。距離空間 (V, dp) の位相をノルム ‖•‖ の定めるまたは誘導する位相という。 空間 X にノルムが与えられたとき、ノルムが 1 である元の全体をしばしば単位球面 (unit sphere) または二次元の場合は特に単位円 (unit circle) と呼ぶ。ノルムの定める位相とはノルムに関する開単位球面の和に表される集合を開集合とするような位相のことである。 ノルム空間 V における線型演算はノルムが V に誘導する位相に関して連続であり、ノルム空間 V は位相線型空間を成す。位相線型空間 (V, T) に対し、V に適当なノルム p が存在して p から誘導される位相 Tp がもとの位相 T に等しいとき、位相線型空間 V はノルム付け可能またはノルム化可能 (normable) であるという。
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幾何学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/20 08:21 UTC 版)
半径の比が ( φ − φ ) : 1 : ( φ + φ ) {\displaystyle (\varphi -{\sqrt {\varphi }}):1:(\varphi +{\sqrt {\varphi }})} である3つの円が互いに外接する時、その3つの円の全てと外接する大小2つの円を描くことができ、それらを合わせた5つの円の半径の比は ( φ − φ ) 2 : ( φ − φ ) : 1 : ( φ + φ ) : ( φ + φ ) 2 {\displaystyle ({\varphi -{\sqrt {\varphi }}})^{2}:(\varphi -{\sqrt {\varphi }}):1:(\varphi +{\sqrt {\varphi }}):(\varphi +{\sqrt {\varphi }})^{2}} である。 ここで φ − φ = 1 φ + φ {\displaystyle \varphi -{\sqrt {\varphi }}={\frac {1}{\varphi +{\sqrt {\varphi }}}}} であり、隣接する円との半径の比が同じで、互いに密に接する円の列を螺旋状に無限に配置することができる。 （→デカルトの円定理） 半径の比が黄金比である2円が外接しているとき、共通外接線2本の交点と、2円の接点の距離は、大きい方の円の直径に等しい。 半径 √5 の円（青線）と半径1の円（緑線）が外接するとき、共通外接線2本の交点と半径1の円周上の点の距離で最短のものは、黄金数に等しい。 合同な直角二等辺三角形を張り合わせて黄金長方形、白銀長方形（大和比）を作り、それらから正三角形を作った例。 互いに合同な正方形を活用して黄金比の線分を作り出せることを示した図。図中では同じ長さの辺を持つ正三角形・正方形・正五角形も示されている。 「半径 2 の正円」（緑）と「辺の長さが 1 と φ の黄金長方形」（橙）を活用すると図のように当該正円の円周を20等分する点を求めることができる。
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幾何学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/26 07:03 UTC 版)
球面は同一平面上にない四点を指定すれば一意に決定される。より一般に、通る点や平面に接するなどの条件が四つあれば球面が一意に決まる。この性質は、平面上の円が同一直線上にない三点で一意に決まるという性質の三次元空間版と見ることができる。その帰結として、球面は一つの円とその円が属する平面上にない一点によって（それらすべてを通るという意味で）一意に決定できる。 ふたつの球面の方程式の共通解を調べれば、ふたつの球面の交線が円となることが確認できる。その交円を含む平面は交わる球面の根面 (radical plane) という。根面は実平面だけれども、交円は虚円（二つの球面が共通実点を持たない）や点円（二つの球面が一点で接する）となることもあり得る 交円上の実点における二つの球面の間の成す角とは、その点における各球面の接平面によって定義される二面角を言う。二つの球面は、その交円上のどの点でも同じ角度で交わる。ふたつの球面が直角に交わるための必要十分条件は、それら球面の中心間の距離の平方がそれらの半径の平方和に等しいことである。
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幾何学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/09 13:40 UTC 版)
五芒星は星型正多角形の一種であり、正5/2角形ということができる。正五角形に内接し、対称的である。一筆書きが可能である。
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幾何学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/08 00:35 UTC 版)
七芒星は既約分数で2つの形式で描画できる最小の星型正多角形である。2つの七芒星は、heptagram（{7/2}の場合）およびgreat heptagram（{7/3}の場合）と呼ばれることもある。 より小さいものでは六芒星{6/2}は2つの三角形の複合体である。 最小の星形多角形は五芒星{5/2}である。 より大きいものでは、八芒星が{8/3}と2つの正方形の複合体である{8/2}。そして九芒星の{9/2}、{9/4}、および3つの三角形の複合物である{9/3}と続く。
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