二次元の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/12 07:33 UTC 版)
二次元の線形力学系は、 d d t ( x y ) = A ( x y ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}}} で表される。この系では、A は 2 次正方行列である。A の固有値は、行列式 Δ と、トレース τ を用いて、 λ 1 = τ + τ 2 − 4 Δ 2 {\displaystyle \lambda _{1}={\frac {\tau +{\sqrt {\tau ^{2}-4\Delta }}}{2}}} λ 2 = τ − τ 2 − 4 Δ 2 {\displaystyle \lambda _{2}={\frac {\tau -{\sqrt {\tau ^{2}-4\Delta }}}{2}}} のように書くことができる。 また、 Δ = λ 1 λ 2 {\displaystyle \Delta =\lambda _{1}\lambda _{2}} であり、 τ = λ 1 + λ 2 {\displaystyle \tau =\lambda _{1}+\lambda _{2}} である。 もし、 Δ < 0 {\displaystyle \Delta <0} ならば、固有値の符号が異なり原点は、鞍点 (saddle point) となる。 Δ = 0 {\displaystyle \Delta =0} ならば、原点は孤立した平衡点ではない。 Δ > 0 {\displaystyle \Delta >0} ならば、固有値の符号が同じになり、 τ < 0 {\displaystyle \tau <0} ならば(漸近)安定、 τ = 0 {\displaystyle \tau =0} ならば中立安定、 τ > 0 {\displaystyle \tau >0} ならば不安定になる。また固有値が実数ならば節点 (node) となる。ただし、二つの固有値が同じときには対角化可能なときスター、不可能なとき退化節点 (degenerate node) となる。最後に複素数のときは、渦状点 (spiral) となる。
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