三次元内の反転
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/07/20 16:54 UTC 版)
円反転は、三次元空間における球面反転に一般化される。空間内の点 P の、中心 O, 半径 R の基準球面に関する反転点を P′ とすると、 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「/mathoid/local/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): OP\times OP'=R^{2} かつ、二点 P, P′ は O を始点とする一つの半直線上にある。二次元の場合と同様に、球面反転によって球面は球面に写る（ただし、球面が基準球面の中心 O を通る場合は例外で、この場合は平面に写る）。基準円の中心 O を通らない任意の平面は、反転して O に接する球面に写る。球面と割平面との交点としての円は、同じく円に写るが、やはり例外として円が基準球面の中心 O を通る場合には直線に写る。このことは、割平面が基準球面の中心 O を通る場合には二次元の場合に帰着できるが、通らない場合には三次元特有の現象である。 球面反転の特別の場合として立体射影がある。半径 1 の球面 B と、B の南極 S で B に接する平面 P を考えると、平面 P は球面 B の、北極 N に関する立体射影である。ここで、B の北極 N を中心とする半径 2 の球面 B2 を考えると、B2 に関する反転で 球面 B はその立体射影 P に写される。
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