三次元ユークリッド空間の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/10/19 10:45 UTC 版)
「二項積」の記事における「三次元ユークリッド空間の場合」の解説
これらの語法の等価性を見るために、三次元のユークリッド空間を例に取ろう。i, j, k（あるいは e1, e2, e3）を基本ベクトルとして、二つのベクトル a = a 1 i + a 2 j + a 3 k , {\displaystyle \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} ,} b = b 1 i + b 2 j + b 3 k {\displaystyle \mathbf {b} =b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} } を考える。a, b の二項積は「九元数の形」(nonion form) と呼ばれる和 a b = a 1 b 1 i i + a 1 b 2 i j + a 1 b 3 i k + a 2 b 1 j i + a 2 b 2 j j + a 2 b 3 j k + a 3 b 1 k i + a 3 b 2 k j + a 3 b 3 k k {\displaystyle {\begin{alignedat}{6}\mathbf {ab} =&&a_{1}b_{1}&\;\mathbf {ii} &{}+a_{1}b_{2}&\;\mathbf {ij} &{}+a_{1}b_{3}&\;\mathbf {ik} \\&&{}+a_{2}b_{1}&\;\mathbf {ji} &{}+a_{2}b_{2}&\;\mathbf {jj} &{}+a_{2}b_{3}&\;\mathbf {jk} \\&&{}+a_{3}b_{1}&\,\mathbf {ki} &{}+a_{3}b_{2}&\,\mathbf {kj} &{}+a_{3}b_{3}&\,\mathbf {kk} \end{alignedat}}} や、列ベクトルや行ベクトルの（ベクトルを成分とするような）拡張を考えることにより 3 × 3 行列 a b ≡ ( a 1 b 1 a 1 b 2 a 1 b 3 a 2 b 1 a 2 b 2 a 2 b 3 a 3 b 1 a 3 b 2 a 3 b 3 ) = ( a 1 a 2 a 3 ) ( b 1 b 2 b 3 ) ≡ a ⊗ b ≡ a b ⊤ {\displaystyle \mathbf {ab} \equiv {\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{pmatrix}}\equiv \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} \equiv \mathbf {ab} ^{\top }} で表現することができる（これが a, b のテンソル積の結果と同じであることに注意せよ）。 単純二項積 (dyad) は上記の和の項あるいは行列の成分を言う。つまり基底ベクトルの併置に係数をかけたものである。 基本ベクトル i, j, k が i = e 1 = ( 1 0 0 ) , j = e 2 = ( 0 1 0 ) , k = e 3 = ( 0 0 1 ) {\displaystyle \mathbf {i} =\mathbf {e} _{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},\mathbf {j} =\mathbf {e} _{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},\mathbf {k} =\mathbf {e} _{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}} で表される（転置をとる流儀もある）のと同様に、基本二項積テンソルは i i = ( 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ) , … j i = ( 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ) , … j k = ( 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ) , … {\displaystyle \mathbf {ii} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\ldots \mathbf {ji} ={\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\ldots \mathbf {jk} ={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}},\ldots } のような表現を持つ。例えば: A = 2 i j + 3 2 j i − 8 π j k + 2 2 3 k k = 2 ( 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ) + 3 2 ( 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ) − 8 π ( 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ) + 2 2 3 ( 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ) = ( 0 2 0 3 / 2 0 − 8 π 0 0 2 2 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=2\mathbf {ij} +{\frac {\sqrt {3}}{2}}\mathbf {ji} -8\pi \mathbf {jk} +{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\mathbf {kk} \\&=2{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}-8\pi {\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&2&0\\{\sqrt {3}}/2&0&-8\pi \\0&0&{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}} 3-個より少ない数の単純二項積の和に簡約することのできない二項積は完全 (complete) であると言う。このとき、成分ベクトルは平面的でない (non-coplanar)[疑問点 – ノート] see Chen (1983)。 三次元ベクトルの二項積の分類 行列式余因子行列階数零階= 0 = 0 rank 0: 零行列 一階 (線型)= 0 = 0 rank 1: 少なくとも一つの成分が 0 でなく、ひとつの単純二項積で書ける 二階 (平面的)= 0 ≠ 0: 一つの単純二項積で書ける rank 2: 少なくとも一つ 2 × 2 小行列式が 0 でない 三階 (完全)≠ 0 ≠ 0 rank 3: 行列式が 0 でない
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