転置
転置
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/06/01 07:43 UTC 版)
詳細は「転置行列」を参照 m × n 行列 A = [ai j] の転置とは n × m 行列 tA = [aj i], 即ち A = [ a 11 … a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 … a m n ] ⟺ t A = [ a 11 … a m 1 ⋮ ⋱ ⋮ a 1 n … a m n ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\end{bmatrix}}\iff {}^{t}A={\begin{bmatrix}a_{11}&\dots &a_{m1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1n}&\dots &a_{mn}\end{bmatrix}}} である。これはもとの行列の各列を各行に持つ行列であり、主対角成分 a1 1, a2 2, … に関して折り返したものになっている。 転置行列は以下の計算規則に従う: t ( A + B ) = t A + t B t ( c A ) = c t A t ( t A ) = A t ( A B ) = t B t A t ( A − 1 ) = ( t A ) − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}{}^{t}(A+B)&={}^{t}A+{}^{t}B\\{}^{t}(cA)&=c\,{}^{t}A\\{}^{t}({}^{t}A)&=A\\{}^{t}(AB)&={}^{t}B\,{}^{t}A\\{}^{t}(A^{-1})&=({}^{t}A)^{-1}\end{aligned}}}
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転置
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/01/05 14:35 UTC 版)
T : B1 → B2 を、バナッハ空間の間の作用素とする。このとき、T の転置(あるいは、双対) T ′ : B 2 ∗ → B 1 ∗ {\displaystyle T':{B_{2}}^{*}\to {B_{1}}^{*}} とは ⟨ T x , y ′ ⟩ = ⟨ x , T ′ y ′ ⟩ {\displaystyle \langle Tx,y'\rangle =\langle x,T'y'\rangle } がすべての x ∈ B1 および y ∈ B2* に対して成り立つような作用素のことを言う。ここで、記法 ⟨ x , x ′ ⟩ = x ′ ( x ) {\displaystyle \langle x,x'\rangle =x'(x)} を用いた。 T の転置が存在するための必要十分条件は、T が稠密に定義されていることである(本質的には、上述の共役に対するものと同様の理由である)。 H をヒルベルト空間、y ∈ Hとするとき、 y ∗ ( x ) = ⟨ x ∣ y ⟩ H , ( x ∈ H ) {\displaystyle y^{*}(x)=\langle x\mid y\rangle _{H},(x\in H)} とおく。このとき、 J y ∗ = y {\displaystyle Jy^{*}=y} によって与えられる反線型の同型 J : H ∗ → H {\displaystyle J:H^{*}\to H} を考える。この同型を用いて、転置 T' は共役 T∗ と、次のように関係付けられる: T ∗ = J 1 T ′ J 2 − 1 {\displaystyle T^{*}=J_{1}T'J_{2}^{-1}} ここで J j : H j ∗ → H j {\displaystyle J_{j}:H_{j}^{*}\to H_{j}} である(有限次元の場合、これは行列の随伴が共役転置であることと対応する)。この等式は転置によって共役の定義を与えていることに注意されたい。
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