小行列式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/01/29 10:22 UTC 版)
数学の線型代数学において、行列 A の小行列式(しょうぎょうれつしき、英: minor, minor determinant)とは、A から1列以上の行または列を除いて得られる小さい正方行列の行列式のことである。
- ^ 英語では "minor deternimant" の "determinant" はよく省略され、単に "minor" といった場合は普通(小行列ではなく)小行列式の意味である。
小行列は英語では、普通は "(square) submatrix" と呼んでいる。
- ^ Burnside, William Snow & Panton, Arthur William (1886) Theory of Equations: with an Introduction to the Theory of Binary Algebraic Form.
- ^ a b Elementary Matrix Algebra (Third edition), Franz E. Hohn, The Macmillan Company, 1973, ISBN 978-0-02-355950-1
- ^ a b c Minor. Encyclopedia of Mathematics. http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Minor&oldid=30176
- ^ Linear Algebra and Geometry, Igor R. Shafarevich, Alexey O. Remizov, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013, ISBN 978-3-642-30993-9
- ^ Bertha Jeffreys, Methods of Mathematical Physics, p. 135, Cambridge University Press, 1999 ISBN 0-521-66402-0.
(i, j) 小行列式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/05/12 06:50 UTC 版)
正方行列 A の (i, j) 小行列式 (minor, first minor) とは、第 i 行と第 j 列を除いて得られる小行列の行列式のことである。この数はしばしば Mi,j と書かれる。(i, j)余因子 (cofactor) とは、(i, j)小行列式に (−1)i+j を掛けて得られる値のことである。 例えば、次の 3次正方行列を考える: [ 1 4 7 3 0 5 − 1 9 11 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&4&7\\3&0&5\\-1&9&11\end{bmatrix}}} 小行列式 M2,3 と余因子 ~a2,3 を計算するため、上の行列から第2行と第3列を除いた小行列の行列式を求める。 M 2 , 3 = | 1 4 ◻ ◻ ◻ ◻ − 1 9 ◻ | = | 1 4 − 1 9 | = ( 9 − ( − 4 ) ) = 13 {\displaystyle M_{2,3}={\begin{vmatrix}\,\,1&4&\Box \,\\\,\Box &\Box &\Box \,\\-1&9&\Box \,\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\,\,\,1&4\,\\-1&9\,\\\end{vmatrix}}=(9-(-4))=13} したがって (2, 3) 余因子は a ~ 2 , 3 = ( − 1 ) 2 + 3 M 2 , 3 = − 13 {\displaystyle {\widetilde {a}}_{2,3}=(-1)^{2+3}M_{2,3}=-13}
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小行列式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/06/10 05:18 UTC 版)
詳細は「小行列式」を参照 正方行列とは限らない一般の行列 A := (aij) に対して、その行と列からそれぞれ k 個選び、それらに属する成分からなる正方行列の行列式を考えることができる: | a i 1 j 1 a i 1 j 2 ⋯ a i 1 j k a i 2 j 1 a i 2 j 2 ⋯ a i 2 j k ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a i k j 1 a i k j 2 ⋯ a i k j k | {\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{i_{1}j_{1}}&a_{i_{1}j_{2}}&\cdots &a_{i_{1}j_{k}}\\a_{i_{2}j_{1}}&a_{i_{2}j_{2}}&\cdots &a_{i_{2}j_{k}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i_{k}j_{1}}&a_{i_{k}j_{2}}&\cdots &a_{i_{k}j_{k}}\end{vmatrix}}} これを A から作られる小行列式(しょうぎょうれつしき、minor determinant)という。行列に対して、0 でない小行列式の最大次数は行列の階数に一致する。特に、同じ番号の行と列を選んで | a i 1 i 1 a i 1 i 2 ⋯ a i 1 i k a i 2 i 1 a i 2 i 2 ⋯ a i 2 i k ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a i k i 1 a i k i 2 ⋯ a i k i k | {\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{i_{1}i_{1}}&a_{i_{1}i_{2}}&\cdots &a_{i_{1}i_{k}}\\a_{i_{2}i_{1}}&a_{i_{2}i_{2}}&\cdots &a_{i_{2}i_{k}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i_{k}i_{1}}&a_{i_{k}i_{2}}&\cdots &a_{i_{k}i_{k}}\end{vmatrix}}} の形に書かれる(対角線上にある)小行列式を主小行列式(しゅしょうぎょうれつしき、principal minor)と呼ぶ。
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