小行列式とは? わかりやすく解説

小行列式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/01/29 10:22 UTC 版)

数学線型代数学において、行列 A小行列式(しょうぎょうれつしき、: minor, minor determinant)とは、A から1列以上の行または列を除いて得られる小さい正方行列行列式のことである。


  1. ^ 英語では "minor deternimant" の "determinant" はよく省略され、単に "minor" といった場合は普通(小行列ではなく)小行列式の意味である。
    小行列は英語では、普通は "(square) submatrix" と呼んでいる。
  1. ^ Burnside, William Snow & Panton, Arthur William (1886) Theory of Equations: with an Introduction to the Theory of Binary Algebraic Form.
  2. ^ a b Elementary Matrix Algebra (Third edition), Franz E. Hohn, The Macmillan Company, 1973, ISBN 978-0-02-355950-1
  3. ^ a b c Minor. Encyclopedia of Mathematics. http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Minor&oldid=30176
  4. ^ Linear Algebra and Geometry, Igor R. Shafarevich, Alexey O. Remizov, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013, ISBN 978-3-642-30993-9
  5. ^ Bertha Jeffreys, Methods of Mathematical Physics, p. 135, Cambridge University Press, 1999 ISBN 0-521-66402-0.



(i, j) 小行列式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/05/12 06:50 UTC 版)

「小行列式」の記事における「(i, j) 小行列式」の解説

正方行列 A の (i, j) 小行列式 (minor, first minor) とは、第 i 行と第 j 列を除いて得られる小行列行列式のことである。この数はしばしMi,j と書かれる。(i, j)余因子 (cofactor) とは、(i, j)小行列式に (−1)i+j掛けて得られる値のことである。 例えば、次の 3次正方行列考える: [ 1 4 7 3 0 51 9 11 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&4&7\\3&0&5\\-1&9&11\end{bmatrix}}} 小行列式 M2,3 と余因子 ~a2,3 を計算するため、上の行列から第2行と第3列を除いた小行列行列式求める。 M 2 , 3 = | 1 4 ◻ ◻ ◻ ◻ − 1 9 ◻ | = | 1 41 9 | = ( 9 − ( − 4 ) ) = 13 {\displaystyle M_{2,3}={\begin{vmatrix}\,\,1&4&\Box \,\\\,\Box &\Box &\Box \,\\-1&9&\Box \,\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\,\,\,1&4\,\\-1&9\,\\\end{vmatrix}}=(9-(-4))=13} したがって (2, 3) 余因子は a ~ 2 , 3 = ( − 1 ) 2 + 3 M 2 , 3 = − 13 {\displaystyle {\widetilde {a}}_{2,3}=(-1)^{2+3}M_{2,3}=-13}

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小行列式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/06/10 05:18 UTC 版)

行列式」の記事における「小行列式」の解説

詳細は「小行列式」を参照 正方行列とは限らない一般行列 A := (aij) に対して、その行と列からそれぞれ k 個選び、それらに属す成分からなる正方行列行列式考えることができる: | a i 1 j 1 a i 1 j 2a i 1 j k a i 2 j 1 a i 2 j 2 ⋯ a i 2 j k ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a i k j 1 a i k j 2a i k j k | {\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{i_{1}j_{1}}&a_{i_{1}j_{2}}&\cdots &a_{i_{1}j_{k}}\\a_{i_{2}j_{1}}&a_{i_{2}j_{2}}&\cdots &a_{i_{2}j_{k}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i_{k}j_{1}}&a_{i_{k}j_{2}}&\cdots &a_{i_{k}j_{k}}\end{vmatrix}}} これを A から作られる小行列式(しょうぎょうれつしき、minor determinant)という。行列に対して、0 でない小行列式の最大次数行列の階数一致する。特に、同じ番号の行と列選んで | a i 1 i 1 a i 1 i 2 ⋯ a i 1 i k a i 2 i 1 a i 2 i 2 ⋯ a i 2 i k ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a i k i 1 a i k i 2 ⋯ a i k i k | {\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{i_{1}i_{1}}&a_{i_{1}i_{2}}&\cdots &a_{i_{1}i_{k}}\\a_{i_{2}i_{1}}&a_{i_{2}i_{2}}&\cdots &a_{i_{2}i_{k}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i_{k}i_{1}}&a_{i_{k}i_{2}}&\cdots &a_{i_{k}i_{k}}\end{vmatrix}}} の形に書かれる対角線上にある)小行列式を主小行列式しゅしょうぎょうれつしきprincipal minor)と呼ぶ。

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