他の応用とは? わかりやすく解説

他の応用

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/05/12 06:50 UTC 版)

小行列式」の記事における「他の応用」の解説

体(例えば、実数体、複素数体)の元を成分とする m × n行列に対して、0 でない小行列式最大次数行列の階数 r に等しい(つまり、0 でない r次小行列式少なくとも1つ存在しそれより大き次数小行列式全て 0 である)。 記号 [A]I,J は上の通りとする. I = J のとき、[A]I,J は主小行列式 (principal minor) と呼ばれる主小行列式対応する行列がもとの行列左上正方形部分である(すなわち行・列番号それぞれ {1, …, k})とき、主小行列式首座小行列式 (leading principal minor (of order k), corner (principal) minor (of order k)) と呼ばれる。n 次正方行列に対しては、n 個の首座小行列式存在する行列基本小行列式とは、0 でない小行列式次数最大のもののことである。 エルミート行列に対して首座小行列式正定値性の判定に使うことができ、主小行列式半正定値性の判定に使うことができる。詳細シルヴェスター判定法英語版)を参照コーシー・ビネの公式は、m × n行列と n × m 行列の積の行列式について成り立つ等式であるが、これを次の一般的な主張拡張することができる: m × n行列 A,n × l 行列 B に対して、I を k個の元からなる {1, …, m} の部分集合とし、J を k 個の元からなる {1, …, l} の部分集合とする。このとき [ A B ] I , J = ∑ K [ A ] I , K [ B ] K , J {\displaystyle [AB]_{I,J}=\textstyle \sum \limits _{K}[A]_{I,K}[B]_{K,J}} が成り立つ。ただし、総和添え字 K は k 個の元を持つ {1, …, n} の部分集合全体を走る。この公式はコーシー・ビネの公式直截的拡張である.

※この「他の応用」の解説は、「小行列式」の解説の一部です。
「他の応用」を含む「小行列式」の記事については、「小行列式」の概要を参照ください。

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