正定値行列の特徴とは? わかりやすく解説

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正定値行列の特徴

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2019/09/23 04:18 UTC 版)

行列の定値性」の記事における「正定値行列の特徴」の解説

n × n エルミート行列 M に対して、以下の条件何れも M が正定値であることと同値である。 M の任意の固有値が正の実数であることM の固有値分解を M = PDP−1 とする。ここで、P は M の固有ベクトルのなす正規直交基底をその列ベクトルとして並べて得られるユニタリ行列で、D は対応する固有値をその主対角成分並べて得られる対角行列である。このとき行列 M は P の列ベクトルからなる基底に関して表したとき、対角行列 D と見做すことができる。特に、一対一変数変換 y = P1z によって、z∗Mz任意の複素ベクトル z に対して正の実数となるためには、y∗Dy任意の y に対して正の実数となること(即ち、D が正定値であること)が必要十分であることがわかる。対角行列に対してこれが成り立つのは、その主対角成分(従って今の場合 M の固有値)が全て正である場合限られるスペクトル定理によればエルミート行列任意の固有値実数であることが保証されるから、実対称行列 M の固有多項式使える場合には、デカルト符号律 を使って固有値の正値性を確かめることができる。 M に付随する半双線型形式内積となること行列 M の定め半双線型形式とは、任意の x, y ∈ Cn に対して 〈x, y〉 := y∗Mx置いて得られる函数 〈,〉: Cn × Cn → C を言う。任意の複素行列 M に対してこの形式各々引数に関してそれぞれの線型性条件満足するから、従ってこれが Cn 上の内積であるための必要十分条件は、〈z, z〉 が任意の零ベクトル z に対して正の実数となることであり、これは即ち M が正定値である条件他ならない。(実は Cn 上の任意の内積が、正定値エルミート行列からこの方法によって得られる)。 M が線型独立なベクトル対すグラム行列となっていること内積 〈,〉 を持つ適当な複素線型空間線型独立な n 個のベクトル x1, …, xn対しmij := 〈xi,xj〉 で定義されるグラム行列 M = (mij)1≤i,j≤n は必ず正定値となることが証明できる逆に M が正定値ならば、その固有値分解 P−1DP(P はユニタリで、D = (dij) は対角行列かつその対角成分 dii = λi が正の実数)が取れるから、x1, …, xn を P の各列ベクトルにそれと対応する固有値 λi の平方根掛けたものとすれば、これらのベクトル互いに線型独立であってCn標準内積(つまり、〈xi,xj〉 = x∗ixj)に関してそれらベクトルから得られるグラム行列は M に一致する。 M の首座小行列式全て正であること行列 M の k-次首座小行列式とは、その左上から順番そのまま成分取ってできる k × k 小行列行列式を言う。行列正定値であるための必要十分条件は、全ての首座小行列式が正となることであると示すことができる。この条件シルベスター判定法英語版)と呼ばれ対称実行列正定値性の効率的な判定法与える。具体的には、ピボット過程行列式符号保たれることに注意してガウスの消去法前半部分同様に行基本変形用いて行列上半三角行列簡約化すれば、三角行列の k-次首座小行列式は第 k 行までの対角成分の積であるからシルベスター判定法行列対角成分全て正であることを確かめることに他ならない。この条件三角行列新たな行 k を考えるごとに確かめることができる。 M が一意コレスキー分解を持つこと行列 M が正定値であるための必要十分条件は、真に正の実数対角成分に持つ下半三角行列 L で M = LL∗ を満たすものがただ一つ存在することである。このような分解は M のコレスキー分解呼ばれる同様の理由により、 エルミート行列負定値半負定値半正定値となるための必要十分条件が、それぞれその固有値全て負、非正、非負となることであることが分かるまた、不定値場合には正負両方固有値現れることで特徴付けられる小行列式言葉言えばエルミート行列負定値となる条件は、その k-次の首座小行列式が、k が奇数のとき負かつ k が偶数のとき正となることである。また、半正定値となるための必要十分条件はその任意の主小行列式非負となることである。ここで首座小行列式考えただけでは不十分であることは、なんとなれば成分が 0 と −1 しかとらないような対角行列について確かめてみるとよい。 エルミート行列 M が半正定値となる必要十分条件は、それが適当なベクトルからなる集合グラム行列として得られることである。正定値場合との違いは、これらのベクトルが必ずしも線型独立である必要が無いことである。 任意の行列 A に対して行列 A∗A は必ず半正定値あり、かrank(A) = rank(A∗A) が成り立つ。

※この「正定値行列の特徴」の解説は、「行列の定値性」の解説の一部です。
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