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数学 の線型代数学 周辺分野における行列 (ぎょうれつ、英 : matrix )は、数や記号や式などを縦と横に矩形状に配列したものである。
概要
行・列
横に並んだ一筋を行 (row)、縦に並んだ一筋を列 (column)と呼ぶ。
例えば、下記のような行列
[
1
9
−
13
20
5
−
6
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&9&-13\\20&5&-6\end{bmatrix}}}
行列の積の模式図
行列の積を初めて定義したのはケイリー である。行列の積は狭い意味での二項演算 (即ち、台とする集合 X に対して X × X → X なる写像を定めるもの)ではない。l × m 行列 A と m × n 行列 B の積は l × n 行列となり、C = A B の (i , j ) 成分 c i j は、
c
i
j
=
∑
k
=
1
m
a
i
k
b
k
j
{\displaystyle c_{ij}=\sum _{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}}
2 × 2 行列は、単位正方形を平行四辺形に変形することに対応する。
行列とその乗法は、これを一次変換 (つまり線型写像 )と関連付けるとき、その本質的な特徴が浮き彫りになる。
線型写像の行列表現
m × n 行列 A から線型写像 R n → R m が各ベクトル x ∈ R n を行列としての積 A x ∈ R m へ写すものとして定まる。逆に、各線型写像 f : R n → R m を生じる m × n 行列 A は一意的に決まる。陽に書けば、A の (i , j ) -成分は、f (e j ) の第 i -成分である。ただし e j = (0, …, 0, 1, 0, …, 0) は第 j -成分だけが 1 で他が全部 0 の単位ベクトル である。
このとき、行列 A は線型写像 f を表現すると言い、A を f の変換行列 または表現行列 と呼ぶ。
例えば 2 × 2 行列
A
=
[
a
c
b
d
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}}
図のような無向グラフの隣接行列は
[
1
1
0
1
0
1
0
1
0
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}}}
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