複素解析とは? わかりやすく解説

複素解析

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2025/02/14 09:59 UTC 版)

複素関数f(z) = (z2 − 1)(z − 2 − i)2/(z2+2+2i)のグラフ。色相偏角を表し、明度(このグラフでは周期的に変化させている)は絶対値を表す。

数学の一分野である複素解析(ふくそかいせき、: complex analysis)は、複素数上で定義された関数微分法積分法変分法微分方程式論、積分方程式論などの総称であり[1]複素関数論 あるいは 関数論とも呼ばれる[2][3][4]。初等教育以降で扱う実解析に対比して複素解析というが、現代数学の基礎が複素数であることから、単に解析といえば複素解析を意味することもある。複素解析の手法は、応用数学を含む数学全般、(流体力学などの)理論物理学、(数値解析[5][6]回路理論[7]をはじめとした)工学などの多くの分野で用いられている。

歴史

複素解析の理論に貢献した先人

複素解析は最も古くからある数学の分野の一つであり、その起源は18世紀あるいはそれより以前にまでたどることができる。レオンハルト・オイラーカール・フリードリッヒ・ガウスベルンハルト・リーマンオーギュスタン=ルイ・コーシーヨースタ・ミッタク=レフラーワイエルシュトラスといった数学者や他の多くの20世紀の数学者たちが複素解析の理論に貢献している[1][5][6][8]

複素解析の応用

歴史的に複素解析、特に等角写像の理論は工学地図学物理学に多くの応用があるが[6][8][9]解析的整数論全般にわたっても応用されている[10]。近年は複素力学系の勃興や正則関数の繰り返しによって与えられるフラクタル図形(有名な例としてマンデルブロ集合が挙げられる)の研究などによって有名になっている[11]

他の重要な応用として共形変換に対して作用が不変な場の量子論である共形場理論が挙げられる。また電気工学におけるフェーザ表示固体力学における応力関数流体力学における複素速度ポテンシャル[12]など、工学の様々な分野にも応用されている。

複素関数

複素関数とは、自由変数従属変数がともに複素数の範囲で与えられるような関数である[1][8]。より正確に言えば複素平面部分集合上で定義された複素数値の関数が複素関数と呼ばれる。複素関数に対し自由変数や従属変数を実部と虚部とに分けて考えることができる。

定理

方程式

関連分野

特殊関数

積分

複素解析の研究者

海外

日本



複素解析

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/04/09 19:21 UTC 版)

複素共役」の記事における「複素解析」の解説

複素共役変換 ・ : C → C ; z ↦ z は、C の全ての点で複素微分不可能である。 実軸開集合上で実数値をとる実解析的関数について、その解析接続は、共役複素数に対して共役複素数与える。たとえば複素解析において exp ⁡ ( z ¯ ) = exp ⁡ ( z ) ¯ {\displaystyle \exp({\overline {z}})={\overline {\exp(z)}}} log ⁡ ( z ¯ ) = log ⁡ ( z ) ¯ {\displaystyle \log({\overline {z}})={\overline {\log(z)}}} (ただし実軸のある領域上で実数値をとる分枝の、複素共役について対称的な領域への拡張について) が成り立つ。

※この「複素解析」の解説は、「複素共役」の解説の一部です。
「複素解析」を含む「複素共役」の記事については、「複素共役」の概要を参照ください。

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複素解析

出典:『Wiktionary』 (2021/11/25 00:18 UTC 版)

名詞

複素解析 (ふくそかいせき)

  1. (数学) 複素数関数関連する理論総称

翻訳




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