複素解析学において

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複素解析学において

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/06 16:07 UTC 版)

「重複度 (数学)」の記事における「複素解析学において」の解説

z0 を正則関数 ƒ の根とし、n を ƒ の n 次導関数の z0 における値が 0 とは異なるような最小の正の整数とする。このとき ƒ の z0 についての冪級数は n 次の項から始まり、ƒ は重複度（あるいは「位数」） n の根をもつという。n = 1 であれば、根は単根と呼ばれる (Krantz 1999, p. 70)。 有理型関数の零点と極の重複度もまた次のように定義することができる。有理型関数 ƒ = g/h があれば、点 z0 についての g と h のテイラー展開をとり、それぞれにおいて最初の 0 でない項を見つける（項の位数をそれぞれ m と n で表す）。m = n であれば、点は 0 でない値をもつ。m > n であれば、点は重複度 m − n の零点である。m < n であれば、点は重複度 n − m の極をもつ。