複素解析的関数

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複素解析的関数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/11 08:05 UTC 版)

「ワイエルシュトラスの予備定理」の記事における「複素解析的関数」の解説

1変数の解析関数f (z)は原点のまわりで局所的にzkh(z)とかけた。ここでhは原点で0にならない解析関数で、kはf の原点における零点の重複度である。これを一般化したものがワイエルシュトラスの予備定理である。(z, z2, ..., zn)を複素変数とする。最初の変数は特に z とかいている。解析関数gi(z2, ..., zn)でgi(0, ..., 0) = 0となるものを係数とする多項式 zk + gk−1zk−1 + ... + g0 をワイエルシュトラス多項式と呼ぶ。 解析関数 f が f (0, ..., 0) = 0 であり f (z, z2, ..., zn) を冪級数と見たとき z だけが現れる項があったとする。このとき、原点で0ではない解析関数hとワイエルシュトラス多項式Wが存在して、(0, ..., 0) の周りで局所的に f (z, z2, ..., zn) = W(z)h(z, z2, ..., zn) とかける、という主張がワイエルシュトラスの予備定理である。 これからすぐに、原点 (0, ..., 0)の周りのfの零点は、任意の小さなz2, ..., znとそれに対する方程式W(z) = 0の解の組であることがわかる。解の個数はWのzについての次数に等しい。z2, ..., znを連続的に動かすと、対応する z は枝状に動く。特に f は孤立零点を持ち得ない。