カラテオドリの定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/29 11:21 UTC 版)
数学において、コンスタンティン・カラテオドリの名にちなむカラテオドリの定理と呼ばれるものは多数ある。
- 1 カラテオドリの定理とは
- 2 カラテオドリの定理の概要
カラテオドリの定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/26 14:15 UTC 版)
n {\displaystyle n} 次元多様体 M {\displaystyle M} の領域 U {\displaystyle U} で定義された 1-形式 ψ {\displaystyle \psi } について ψ = f d g {\displaystyle \psi =f\,dg} が成立するような関数 f {\displaystyle f} , g {\displaystyle g} (ただし f ≠ 0 {\displaystyle f\neq 0} ) が存在するとき、 1 / f {\displaystyle 1/f} を ψ {\displaystyle \psi } の積分因子と呼ぶ。1-形式 ψ {\displaystyle \psi } の積分因子の存在に関して、カラテオドリの定理は以下の3命題が同値であることを主張する。 M {\displaystyle M} の任意の点 x {\displaystyle x} について、点 x {\displaystyle x} の近傍 V {\displaystyle V} が存在し、 V {\displaystyle V} 内の任意の x {\displaystyle x} の近傍 W {\displaystyle W} に、区分的 C ∞ {\displaystyle C^{\infty }} -級曲線 γ {\displaystyle \gamma } であって γ ˙ {\displaystyle {\dot {\gamma }}} が定義されるすべての点で ψ { γ ˙ ( t ) } = 0 {\displaystyle \psi \{{\dot {\gamma }}(t)\}=0} を満たすような曲線 γ {\displaystyle \gamma } によって点 x {\displaystyle x} と結ばれることのないような点 y ∈ W {\displaystyle y\in W} が存在する。 ψ ∧ d ψ = 0 {\displaystyle \psi \wedge d\psi =0} 任意の点 x ∈ M {\displaystyle x\in M} にある近傍 V {\displaystyle V} が存在し、 ψ {\displaystyle \psi } の V {\displaystyle V} への制限は積分因子を持つ。 この定理は1909年にコンスタンティン・カラテオドリによって熱力学第二法則の定式化のために導入された。 ψ {\displaystyle \psi } が閉形式（すなわち d ψ = 0 {\displaystyle d\psi =0} が成立するもの）であればポアンカレの補題により積分因子 1 {\displaystyle 1} が存在する。また n ≤ 2 {\displaystyle n\leq 2} のときカラテオドリの定理によりすべての 1-形式について積分因子の存在が保証される（これはJohann Friedrich Pfaffによって最初に示された）。
※この「カラテオドリの定理」の解説は、「積分因子」の解説の一部です。
「カラテオドリの定理」を含む「積分因子」の記事については、「積分因子」の概要を参照ください。
- カラテオドリの定理のページへのリンク
