定式化
定式化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/24 16:19 UTC 版)
「インパクトファクター」の記事における「定式化」の解説
インパクトファクターはWeb of Scienceの収録雑誌の3年分のデータを用いて計算される。任意の年における2年間ジャーナルインパクトファクター（two-year journal impact factor）は、そのジャーナルの全出版物について過去2年間に発行された引用数と、そのジャーナルで過去2年間に発行された「引用可能なアイテム（後述）」との比率である。定式化すると、以下の通りである。 IF y = Citations y Publications y − 1 + Publications y − 2 {\displaystyle {\text{IF}}_{y}={{\text{Citations}}_{y} \over {\text{Publications}}_{y-1}+{\text{Publications}}_{y-2}}}
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定式化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/05/23 13:44 UTC 版)
V は多様体 (variety) と仮定されているから既約代数的集合であるから、イデアル I は素イデアルであるように選べて、R は整域である。同じ定義は一般の斉次イデアルに対して使えるが、このとき得られる座標環は 0 でない冪零元や他の零因子を含むかもしれない。スキーム論の観点から、これらのケースを Proj construction の手段によって同じ足場の上で扱うことができる。 斉次イデアル I と多様体の間の対応はすべての Xi で生成されたイデアル J を含まないイデアルに対して全単射である。すべての斉次座標が射影空間のある点で消えることができるわけではないから J は空集合に対応する。この対応は射影零点定理（英語版）として知られている。
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定式化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/12/10 07:33 UTC 版)
有限体 F = Fq が与えられたとき、自然数 k = 1, 2, ... に対し、拡大次数が [ Fk : F ] = k である体 Fk = Fqk が同型を除き一意に存在する。F 上の多項式からなる方程式系、あるいは、代数多様体 V が与えられると、Fk における解の数 Nk を数えることができ、その生成母関数 G ( t ) = N 1 t + N 2 t 2 / 2 + N 3 t 3 / 3 + ⋯ {\displaystyle G(t)=N_{1}t+N_{2}t^{2}/2+N_{3}t^{3}/3+\dotsb } を作ることができる。 局所ゼータ関数 Z(t) の定義は、log Z が G に等しくなるようにする。つまり、 Z ( t ) = exp ( G ( t ) ) {\displaystyle Z(t)=\exp(G(t))} とする。 G(0) = 0 だから Z(0) = 1 である。また、Z(t) はア・プリオリに形式的冪級数である。 Z(t) の対数微分 Z ′ ( t ) / Z ( t ) {\displaystyle Z'(t)/Z(t)} G ′ ( t ) = N 1 + N 2 t 1 + N 3 t 2 + ⋯ {\displaystyle G'(t)=N_{1}+N_{2}t^{1}+N_{3}t^{2}+\dotsb } に等しい。
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/09/28 08:38 UTC 版)
「形而上学的ニヒリズム」の記事における「定式化」の解説
形而上学的ニヒリズムの立場は、一般に議論対象とする存在者を具体的対象（Concrete object）に絞った上で、次のように定式化される。 「具体的対象がまったく存在しない」ことは可能である。（It is possible that nothing concrete exists.） 可能世界論の枠組みを用いて定式化される場合、次のような形を取る。 w において「具体的対象が何もない」という命題が真となる、そうした可能世界 w が存在する。（There is a possible world w such that "There are no concrete objects" is true at w.）。 ここで具体的対象とは、たとえば椅子や机や石ころなどのことで、抽象的対象（Abstract object、数や命題や「赤（という性質・概念）」など）と対置される、存在論上の対象分類の一つである。
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定式化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/10/23 06:31 UTC 版)
G を数体 K 上の簡約代数群とし、A を K のアデール環とする。また、Z を G の中心、ω を Z(K)\Z(A)× から C× への連続ユニタリ指標とし、アデール群 G(A) 上のハール測度を固定して、G(A) 上の複素数値可測函数 f で以下を満たすもの全体の成すヒルベルト空間を L 0 2 ( G ( K ) ∖ G ( A ) , ω ) {\displaystyle L_{0}^{2}(G(K)\backslash G(\mathbb {A} ),\omega )} と書く。 すべての γ ; ∈ G ( K ) {\displaystyle \gamma ;\in G(K)} に対して、 f ( γ g ) = f ( g ) {\displaystyle f(\gamma g)=f(g)} である。 すべての z ∈ Z ( A ) {\displaystyle z\in Z(\mathbb {A} )} に対して、 f ( g z ) = f ( g ) ω ( z ) {\displaystyle f(gz)=f(g)\omega (z)} である。 ∫ Z ( A ) G ( K ) ∖ G ( A ) | f ( g ) | 2 d g < ∞ {\displaystyle \int _{Z(\mathbf {A} )G(K)\backslash G(\mathbf {A} )}|f(g)|^{2}\,dg<\infty } G(A) の任意の真の抛物型部分群に関する任意の冪単根基 U に対して ∫ U ( K ) ∖ U ( A ) f ( u g ) d u = 0 {\displaystyle \int _{U(K)\backslash U(\mathbf {A} )}f(ug)\,du=0} を満たす。 この空間を G(A) 上の中心指標 ω を持つ尖点形式全体の成す空間といい、この空間に属する函数を尖点函数と呼ぶ。この空間は g ∈ G(A) の尖点函数 f への作用を ( g ⋅ f ) ( x ) = f ( x g ) {\displaystyle (g\cdot f)(x)=f(xg)} L 0 2 ( G ( K ) ∖ G ( A ) , ω ) = ⨁ ( π , V π ) ^ m π V π {\displaystyle L_{0}^{2}(G(K)\backslash G(\mathbf {A} ),\omega )={\hat {\bigoplus \limits _{(\pi ,V_{\pi })}}}m_{\pi }V_{\pi }} に分解される。ここで和は L20(G(K)\G(A), ω) のすべての既約部分表現 に亘ってとるものとし、mπ は正の整数とする（つまり、各既約表現は有限な重複度で現れる）。G(A) の尖点表現 は、表現 (π, V) の、適当な中心指標に対してこのように得られる部分表現をいう。 上記の分解に現れる重複度 mπ が全て 1 に等しい群は、重複度一性を持つという。
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定式化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/06/04 06:19 UTC 版)
密度ρが温度によって変化するとき、ナビエ-ストークス方程式は以下のようになる： ∂ ρ v ∂ t + ( v ⋅ ∇ ) ( ρ v ) = − ∇ p + μ ∇ 2 v + ( ρ − ρ 0 ) g {\displaystyle {\frac {\partial \rho {\boldsymbol {v}}}{\partial t}}+({\boldsymbol {v}}\cdot \nabla )(\rho {\boldsymbol {v}})=-\nabla p+\mu \nabla ^{2}{\boldsymbol {v}}+(\rho -\rho _{0})g} ここで右辺最終項は、基準密度ρ0 からの密度変化による浮力を表す。 ブシネスク近似では、左辺に現れる密度は基準密度から変化しないとし、かつ右辺の浮力項の密度変化は温度変化に比例すると仮定する。 ∂ ( ρ 0 v ) ∂ t + ( v ⋅ ∇ ) ( ρ 0 v ) = − ∇ p + μ ∇ 2 v − ρ 0 β ( T − T 0 ) g {\displaystyle {\frac {\partial (\rho _{0}{\boldsymbol {v}})}{\partial t}}+({\boldsymbol {v}}\cdot \nabla )(\rho _{0}{\boldsymbol {v}})=-\nabla p+\mu \nabla ^{2}{\boldsymbol {v}}-\rho _{0}\beta (T-T_{0})g} ∂ v ∂ t + ( v ⋅ ∇ ) ( v ) = − 1 ρ 0 ∇ p + ν ∇ 2 v − β ( T − T 0 ) g {\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {v}}}{\partial t}}+({\boldsymbol {v}}\cdot \nabla )({\boldsymbol {v}})=-{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p+\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {v}}-\beta (T-T_{0})g} となり、非圧縮性のナビエ-ストークス方程式に外力項として浮力が付加されただけとなり、解析が簡単になる。
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定式化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/10/09 07:07 UTC 版)
弦理論では、ミラー対称性は、タイプ IIAとタイプ IIBを関連付け、2つの理論がミラーペアとなるような多様体にコンパクト化すると、タイプ IIAの有効場の理論がタイプ IIBの理論に等価となるはずであると予言する。 SYZ予想は、この事実を使いミラー対称性を実現する。X の上へコンパクト化されたタイプ IIAの理論のBPS状態、特にモジュライ空間 X を持つ 0-ブレーン を考えることから始める。Y の上へコンパクト化されたタイプ IIBの理論のすべての BPS状態は 3-ブレーン であることが知られている。従って、ミラー対称性は、タイプ IIAの理論の 0-ブレーン をタイプIIBの理論の 3-ブレーンの部分集合へ写像する。 超対称性条件を考えることにより、これらの 3-ブレーン は特殊ラグランジアン部分多様体であることが示されている。他方、T-双対はこの場合と同じ変換となるので、ミラー対称性は T-双対 である。
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/11/30 00:36 UTC 版)
「ハーン–バナッハの定理」の記事における「定式化」の解説
定理の最も一般な定式化においては、いくつかの準備が必要とされる。実数体 R 上のベクトル空間 V に対し、関数 ƒ : V → R が劣線形（英語版）であるとは、 任意の γ ∈ R + {\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} _{+}} および x ∈ V に対して f ( γ x ) = γ f ( x ) {\displaystyle f(\gamma x)=\gamma f\left(x\right)} が成立する（正同次性） 任意の x, y ∈ V に対して f ( x + y ) ≤ f ( x ) + f ( y ) {\displaystyle f(x+y)\leq f(x)+f(y)} が成立する（劣加法性） が成立することを言う。 V 上のすべての半ノルム（特に、V 上のすべてのノルム）は劣線形である。他の劣線形関数、特に凸集合のミンコフスキー汎関数なども同様に有用なものとなりうる。 ハーン-バナッハの定理は次のようなものである: N : V → R {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}:\;V\to \mathbb {R} } が劣線形関数で、φ: U → R が線形部分空間 U ⊆ V 上の線形汎関数であり、U 上では φ は N {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}} によって支配されるようなもの、すなわち φ ( x ) ≤ N ( x ) ∀ x ∈ U {\displaystyle \varphi (x)\leq {\mathcal {N}}(x)\qquad \forall x\in U} が成立するようなものとする。このとき、φ には全空間 V へのある線形拡張 ψ: V → R が存在する。すなわち、次を満たすような線形汎関数 ψ が存在する: ψ ( x ) = φ ( x ) ∀ x ∈ U {\displaystyle \psi (x)=\varphi (x)\qquad \forall x\in U} および ψ ( x ) ≤ N ( x ) ∀ x ∈ V . {\displaystyle \psi (x)\leq {\mathcal {N}}(x)\qquad \forall x\in V.} (Rudin 1991, Th. 3.2) ハーン–バナッハの定理の別形態は次のようなものである: V を係数体 K （実数 R あるいは複素数 C）上のベクトル空間とし、 N : V → R {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}:\;V\to \mathbb {R} } を半ノルムとし、φ: U → K を V の K-線形部分空間 U 上の K-線形汎関数とし、U 上ではその絶対値が N {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}} によって支配されるもの、すなわち | φ ( x ) | ≤ N ( x ) ∀ x ∈ U {\displaystyle |\varphi (x)|\leq {\mathcal {N}}(x)\qquad \forall x\in U} が成立するものとする。このとき、φ には全空間 V への線形拡張 ψ: V → K が存在する。すなわち、次を満たすような K-線形汎関数 ψ が存在する: ψ ( x ) = φ ( x ) ∀ x ∈ U {\displaystyle \psi (x)=\varphi (x)\qquad \forall x\in U} および | ψ ( x ) | ≤ N ( x ) ∀ x ∈ V . {\displaystyle |\psi (x)|\leq {\mathcal {N}}(x)\qquad \forall x\in V.} この定理の複素数の場合において C-線形性を仮定として要求するということは、実数の場合での仮定に、すべてのベクトル x ∈ U に対して、ベクトル i x も U に属し、φ(i x) = i φ(x) が成立するという仮定を加えて要求するということである。 一般には、拡張 ψ は φ によって一意に定まるものではなく、また、定理の証明を見ても ψ を見つける明示的な方法は分からない。無限次元空間 V の場合には、選択公理の一形態であるツォルンの補題が、証明に必要とされる。 (Reed & Simon 1980)によれば、 N {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}} に対する劣線形性の条件は、条件 N ( a x + b y ) ≤ | a | N ( x ) + | b | N ( y ) , x , y ∈ V , | a | + | b | ≤ 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}(ax+by)\leq |a|\,{\mathcal {N}}(x)+|b|\,{\mathcal {N}}(y),\qquad x,y\in V,\quad |a|+|b|\leq 1} に、少し弱めることが出来る。この条件は、ハーン–バナッハの定理と凸性の間の深い関係を明らかにするものである。 Mizarプロジェクトは、ハーン–バナッハの定理の完全な定式化と自動検証された証明をHAHNBAN fileに有している。
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定式化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/31 00:59 UTC 版)
「コルモゴロフの0-1法則」の記事における「定式化」の解説
コルモゴロフの0-1法則は、より一般的に独立な σ-加法族に対して定式化できる。 (Ω,F,P) を確率空間、Fn ⊆ F (n=1,2,...) を独立なσ-加法族の列とする。 G n = σ ( ⋃ k = n ∞ F k ) {\displaystyle G_{n}=\sigma {\bigg (}\bigcup _{k=n}^{\infty }F_{k}{\bigg )}} は Fn, Fn+1, … を含む最小の σ-加法族である。このときコルモゴロフの0-1法則によれば、事象 F ∈ ⋂ n = 1 ∞ G n {\displaystyle F\in \bigcap _{n=1}^{\infty }G_{n}} の確率 P(F) は 0 または 1 のいずれでなければならない。 確率変数についてのステートメントは、σ-加法族についてのステートメントにおいて、Fn を Xn から生成された σ-加法族であるとすれば得られる。このとき定義より、末尾事象族は σ ( X 1 , X 2 , … X n , … ) {\displaystyle \sigma (X_{1},X_{2},\ldots X_{n},\ldots )} の部分集合族であって、かつ任意の有限個の Xn から生成される加法族 σ ( X j 1 , X j 2 , … , X j l ) ( j 1 < j 2 < ⋯ < j l ) {\displaystyle \sigma (X_{j_{1}},X_{j_{2}},\ldots ,X_{j_{l}})\quad (j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{l})} とは独立であるような事象族である。つまり末尾事象とは、積集合 ⋂ n = 1 ∞ G n {\displaystyle \textstyle {\bigcap _{n=1}^{\infty }G_{n}}} の要素のことである。実際、任意の A ∈ σ ( X j 1 , X j 2 , … , X j l ) {\displaystyle A\in \sigma (X_{j_{1}},X_{j_{2}},\ldots ,X_{j_{l}})} と任意の T ∈ ⋂ n = 1 ∞ G n ⊆ G j l + 1 = σ ( X j l + 1 , X j l + 2 , X j l + 3 , … ) {\displaystyle T\in \textstyle {\bigcap _{n=1}^{\infty }G_{n}}\subseteq G_{j_{l}+1}=\sigma (X_{j_{l}+1},X_{j_{l}+2},X_{j_{l}+3},\ldots )} は独立になっている。
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定式化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/11/08 09:21 UTC 版)
より公式なステートメントは、G を（単に離散群とするのではなく）位相群でもありうることと、G の群作用が連続としうることを考えに入れる。連続作用のない場合、分類空間の概念は、ホモトピーの言葉でアイレンベルグ・マックレーン空間（英語版）(Eilenberg–MacLane space)の構成を通して、扱うことができる。ホモトピー論では、位相空間 BG の定義、つまり、主 G-バンドルの分類空間は、BG 上の普遍バンドル（英語版）(universal bundle)である全空間 EG とともに与えられる。つまり、このことの結果は、実際、連続写像 π : E G ⟶ B G . {\displaystyle \pi :EG\longrightarrow BG.\ } である。 CW複体(CW complex)のホモトピー圏が基礎となる圏であることを前提とする。BG に要求される分類するという性質は、実際、π と関連付けられる。任意の主 G-バンドルが空間 Z 上に、 γ : Y ⟶ Z {\displaystyle \gamma :Y\longrightarrow Z\ } と与えられると、Z から BG への分類写像(classifying map) φ が存在し、γ が φ に沿った π の引き戻し（英語版）(pullback)であるということができなければならない。抽象的な言い方では、γ のツイストによる構成は、φ を通して π の構成により既に表現されているツイストまで還元できるはずである。 このことを有益な概念とするためには、そのような空間 BG が存在すると信ずるにたる明白な理由がなければならない。抽象的にいうと、（最初にアイデアが導入された時点である1950年頃にはこのようには考えられてはいなかったが、） h(Z) = Z の上の主 G-バンドルの同型類の集合 により定義されるホモトピー圏から集合の圏(category of sets)への反変函手が、表現函手（英語版）(representable functor)かどうかを問う問題である。抽象的な条件（現在は、ブラウンの表現性定理（英語版）(Brown's representability theorem)として知られている）は、存在定理として結果が肯定的であり難しすぎないことを確かめることである。
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定式化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/07/21 03:02 UTC 版)
保型形式の定式化に当たっては、Γ に対する一般的な意味での保型因子（群コホモロジーの言葉で言えば 1-コサイクルの一種）j が必要である。j は複素数値（あるいは一般にベクトル値の保型形式を考える場合にはそれに応じて複素正方行列値）の函数である。保型因子に課されるコサイクル条件は、j がヤコビ行列から導かれる場合には連鎖律を用いて機械的に確認することができる。 一般的な状況では、保型形式は G 上の（ベクトル値で考える場合は、ある固定された有限次元ベクトル空間 V に値をとる）函数 F で、 Γ の元 γ による平行移動による変換は所与の保型因子 j に比例する、 G 上のあるカシミール作用素（英語版）の固有函数である、 無限遠での増加について特定の条件を満足する という三種類の条件を満たすものである。最初の条件は F が「保型性」を持つ (automorphic)、つまり γ に対して F(g) と F(γg) との間に興味深い函数等式が満足されることを言っている。ベクトル値の場合は具体的に、群の有限次元表現 ρ が成分に作用して、それらを「ひねる」。カシミール作用素云々は、あるラプラス作用素が F を固有函数にもつということであり、これは F が優れた解析的性質を持つことを保障するが、しかしそれが実際に複素解析函数となるかどうかは場合による。三つ目の条件は G/Γ がコンパクトだが尖点を持つ場合を扱うためのものである。
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定式化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/12/25 14:24 UTC 版)
定式化された精神療法としては、19世紀末のジークムント・フロイトによるお話し療法、除反応、自由連想法、また同時代のブロイアーによるカタルシス療法などが創成期のものである。 一般には、自由連想法こそがナラティヴセラピーの原点のように考えられているきらいもあるが、治療者の誘導よりも患者の主体性と意思が尊重される点では、お話し療法や、のちのユング派の分析心理学などに近いとも言える。むしろ、クライエントが自発的な心構えを準備してセラピーに臨み、能動的想像法の要素も色濃い「体験を回想し物語る」という行為は、20世紀前半に入ってフロイト派精神分析に、ユング派分析心理学がたぶんに融合して生成してきたと考えるべきである。
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定式化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/01 00:15 UTC 版)
実数直線 R 上の佐藤超函数は、上半平面上のある正則函数と下半平面上の別の正則函数との「差」であると考えられる。従って、佐藤超函数を上半平面上の正則函数 f と下半平面上の正則函数 g との対 (f, g) として定義することができる。 厳密ではないが、実数直線そのものの上では佐藤超函数はちょうど正則函数の差 f − g になっているはずである。この差は同じ正則函数を f, g の双方に同時に加えても変化しない。そこでガウス平面 C の全域で正則な函数 h に対して、佐藤超函数 (f, g) と (f + h, g + h) とは同値な佐藤超函数であると定める。
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定式化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 23:38 UTC 版)
p を素数とし、2 つの整数 a, b の積 ab は p で割り切れるとする（このことは記号的に p ∣ {\displaystyle \mid } ab と表す。これの否定は p ∤ {\displaystyle \nmid } ab と表され、ab が p で割り切れないことを示す）。このとき p ∣ {\displaystyle \mid } a または p ∣ {\displaystyle \mid } b、あるいはその両方が成り立つ。 p ∣ a b ⇒ p ∣ a ∨ p ∣ b ( p ∤ a b ∨ p ∣ a ∨ p ∣ b ) . {\displaystyle p\mid ab\Rightarrow p\mid a\lor p\mid b\qquad \left(p\nmid ab\lor p\mid a\lor p\mid b\right).} 同値な言明として以下のようなものがある。 p ∤ {\displaystyle \nmid } a かつ p ∤ {\displaystyle \nmid } b ならば p ∤ {\displaystyle \nmid } ab p ∤ a ∧ p ∤ b ⇒ p ∤ a b {\displaystyle p\nmid a\land p\nmid b\Rightarrow p\nmid ab} p ∤ {\displaystyle \nmid } a かつ p ∣ {\displaystyle \mid } ab ならば p ∣ {\displaystyle \mid } b p ∤ a ∧ p ∣ a b ⇒ p ∣ b {\displaystyle p\nmid a\land p\mid ab\Rightarrow p\mid b}
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/11/22 05:30 UTC 版)
「デ・フィネッティの定理」の記事における「定式化」の解説
確率変数 X はベルヌーイ分布に従い、その確率分布は実数 p∈ (0, 1) を用いて Pr(X = 1) = p, Pr(X = 0) = 1 − p と表すことができる。 デ・フィネッティの定理は次のことを述べる：交換可能（英語版）な任意のベルヌーイ変数の無限列に対する確率分布は独立同分布 (i.i.d.) なベルヌーイ変数の列の分布の混合分布であることを示す。混合とはこの場合、加重平均であることを意味する。ただし、有限であったり可算無限である（つまり離散的である）必要はなく、この加重平均は一般に積分として与えられる。 より正確には、次のように述べることができる。X1, X2, ... をベルヌーイ分布に従う確率変数 X の交換可能な無限列であるとする。また、区間 [0, 1] 上の確率分布 m と m に従う確率変数 Y があるとする。ベルヌーイ列 X1, X2, ... の全体の、与えられた Y の下での条件付き確率分布は次のような性質を持つ。 X1, X2, ... は与えられた Y の下で条件付き独立（英語版）であり、 任意の i ∈ {1, 2, ...} について、与えられた Y の下での Xi = 1 の条件付き確率は Y に等しい。
※この「定式化」の解説は、「デ・フィネッティの定理」の解説の一部です。
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/05/18 03:31 UTC 版)
非圧縮性のニュートン流体の場合、ナビエ-ストークス方程式と連続の式は、構造体が流体に及ぼす力の密度f (x , t ) を用いると以下のようになる。 ρ ( ∂ u ( x , t ) ∂ t + u ⋅ ∇ u ) = μ Δ u ( x , t ) − ∇ p + f ( x , t ) ∇ ⋅ u = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&\rho \left({\frac {\partial {u}({x},t)}{\partial {t}}}+{u}\cdot \nabla {u}\right)=\mu \Delta u(x,t)-\nabla p+f(x,t)\\&\nabla \cdot u=0\end{aligned}}} 通常、流体中の構造体は相互作用しあう粒子の集まりで表現する。j 番目の粒子の座標をZj 、粒子j ではたらかせる力をFj とすると、力の密度f (x , t ) は以下の式のようになる。 f ( x , t ) = ∑ j = 1 N δ a ( x − Z j ) F j {\displaystyle f(x,t)=\sum _{j=1}^{N}\delta _{a}(x-Z_{j})F_{j}} ここで、δa はディラックのデルタ関数を長さa のスケールで平滑化した関数である。一方、構造体の変形は、次式に基づいて行われる。 d Z j d t = ∫ δ a ( x − Z j ) u ( x , t ) d x {\displaystyle {\frac {dZ_{j}}{dt}}=\int \delta _{a}(x-Z_{j})u(x,t)dx}
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/14 15:11 UTC 版)
「ポスト・ニュートン展開」の記事における「定式化」の解説
以下では Maggiore (2008) に従い、展開パラメータを重力源の速度 v {\displaystyle v} と光速 c {\displaystyle c} の比 ϵ := v / c {\displaystyle \epsilon :=v/c} とし、 O ( ϵ n ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(\epsilon ^{n})} の量を添え字 ( n ) {\displaystyle (n)} により表す。また、物質場は非相対論的でありそのエネルギー・運動量テンソル T μ ν {\displaystyle T^{\mu \nu }} は | T i j / T 00 | = O ( ϵ 2 ) {\displaystyle \left|T^{ij}/T^{00}\right|={\mathcal {O}}(\epsilon ^{2})} を満たすものと仮定する。また光速 c {\displaystyle c} を1とする単位系を採用する。 物質場が存在しないミンコフスキ時空では計量テンソル g μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu }} は g 00 = − 1 {\displaystyle g_{00}=-1} , g i j = δ i j {\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}} と書けるため、ポスト・ニュートン展開ではこの計量に対する補正項を ϵ {\displaystyle \epsilon } のべき級数という形で求めることになる。重力波放射を無視する近似では、時間反転対称性のため例えば g 00 {\displaystyle g_{00}} には ϵ {\displaystyle \epsilon } の奇数次の項は現れないため、この展開を次のように表示することができる。 g 00 = − 1 + ( 2 ) g 00 + ( 4 ) g 00 + ( 6 ) g 00 + ⋯ {\displaystyle g_{00}=-1+{}^{(2)}g_{00}+{}^{(4)}g_{00}+{}^{(6)}g_{00}+\cdots } g 0 i = ( 3 ) g 00 + ( 5 ) g 00 + ⋯ {\displaystyle g_{0i}={}^{(3)}g_{00}+{}^{(5)}g_{00}+\cdots } g i j = δ i j + ( 2 ) g 00 + ( 4 ) g 00 + ⋯ {\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}+{}^{(2)}g_{00}+{}^{(4)}g_{00}+\cdots } 同様に、エネルギー・運動量テンソルは次の形に展開される。 T 00 = ( 0 ) T 00 + ( 2 ) T 00 + ⋯ {\displaystyle T^{00}={}^{(0)}T^{00}+{}^{(2)}T^{00}+\cdots } T 0 i = ( 1 ) T 00 + ( 3 ) T 00 + ⋯ {\displaystyle T^{0i}={}^{(1)}T^{00}+{}^{(3)}T^{00}+\cdots } T i j = ( 2 ) T 00 + ( 4 ) T 00 + ⋯ {\displaystyle T^{ij}={}^{(2)}T^{00}+{}^{(4)}T^{00}+\cdots }
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定式化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/14 15:15 UTC 版)
「バーデ-ウェッセリンク法」の記事における「定式化」の解説
バーデ-ウェッセリンク法の基本式は、時間 t {\displaystyle t} における星の半径 R ( t ) {\displaystyle R(t)} と星の表面の運動速度 v ( t ) {\displaystyle v(t)} から、星の半径の変化量 Δ R {\displaystyle \Delta R} を求める方程式で、 Δ R = R ( t ) − R ( t 0 ) = ∫ t 0 t v ( t ) d t {\displaystyle \Delta R=R(t)-R(t_{0})=\int _{t_{0}}^{t}v(t)dt} となる。速度は、分光観測によって測定する。 バーデ-ウェッセリンク法を用いて距離を導出するには、星の実半径 R {\displaystyle R} 、視直径 θ {\displaystyle \theta } 、星までの距離 d {\displaystyle d} の間に成り立つ幾何学的な関係、 R d = tan θ 2 ≈ θ 2 {\displaystyle {\frac {R}{d}}=\tan {\frac {\theta }{2}}\approx {\frac {\theta }{2}}} に基づいて、実半径の変化量 Δ R {\displaystyle \Delta R} と、視直径の変化量 Δ θ {\displaystyle \Delta \theta } とから、距離 d {\displaystyle d} を d = 2 Δ R Δ θ {\displaystyle d={\frac {2\Delta R}{\Delta \theta }}} によって計算する。天文学でよく用いられる単位を採用し、距離をパーセク単位、星の半径を太陽半径単位、視直径をミリ秒単位として式を変形すると、 d [pc] = 9.305 ⋅ Δ R [R ⊙ ] Δ θ [mas] {\displaystyle d{\mbox{ [pc]}}=9.305\cdot {\frac {\Delta R{\mbox{ [R}}_{\odot }{\mbox{]}}}{\Delta \theta {\mbox{ [mas]}}}}} となる。 Δ R {\displaystyle \Delta R} は既に求めたので、あとは Δ θ {\displaystyle \Delta \theta } を測定すれば、距離を求めることができる。 視直径の変化 Δ θ {\displaystyle \Delta \theta } を求めるには、主に二通りの方法がある。一つは、光度曲線から、恒星大気の理論を介して推定する方法。もう一つは、高分解能の干渉計による観測で直接測定する方法である。
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定式化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/07/03 04:56 UTC 版)
B をバナッハ空間、V をノルム付きベクトル空間とし、 ( L t ) t ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle (L_{t})_{t\in [0,1]}} を B から V への有界線型作用素のノルム（英語版）(norm)をもつ連続な族とする。ある定数 C が存在し、すべての t ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle t\in [0,1]} とすべての x ∈ B {\displaystyle x\in B} に対し、 ‖ x ‖ B ≤ C ‖ L t ( x ) ‖ V {\displaystyle \|x\|_{B}\leq C\|L_{t}(x)\|_{V}} が成り立つとすると、 L 0 {\displaystyle L_{0}} が全射であることと、 L 1 {\displaystyle L_{1}} が全射であることとは同値である。
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定式化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/10/22 06:20 UTC 版)
物体が受ける浮力は、その物体と同じ体積の（周囲の）流体に作用する重力に等しい。すなわち以下のようになる。 F b = ρ f V g {\displaystyle F_{b}=\rho _{f}Vg} Fb ：浮力（N, kg·m/s²） ρf ：流体の密度（kg/m³） V ：物体の体積（m³） g ：重力加速度（m/s²） この式の厳密な導出には発散定理を用いる。 さらに、物体の密度が ρs であるとすると、物体にはたらく重力と浮力との合力は（上向きを正として）、 F = ( ρ f − ρ s ) V g {\displaystyle F=(\rho _{f}-\rho _{s})Vg} となる。したがって 物体が流体より軽い（ρs < ρf ）とき、F> 0 、すなわち物体は浮く 物体が流体より重い（ρs > ρf ）とき、F < 0 、すなわち物体は沈む ことが分かる。
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定式化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/07/20 01:30 UTC 版)
A を x 以下のいくつかの正の整数からなる集合、P を（必ずしも全てではない）素数の集合（A も P もいづれも元に重複はないものとする）とし、正の実数 z に対し P(z) を P の z 以下の元から成る集合とする。 P の元 p に対し Ap を A の要素で p の倍数でもある元の集合、更に P に含まれる異なる素数の積として表される任意の d に対し Ad を、d の全ての素数の約数 p に関する Ap の共通部分とする；A1は A 自身を表すものとする： A p := { a ∈ A ; p | a } {\displaystyle A_{p}:=\{a\in A;p|a\}} , A d := ∩ p | d A p {\displaystyle A_{d}:=\cap _{p|d}A_{p}} . A の P(z) によって篩われて残った集合を S で表す： S ( A , P , z ) := | A ∖ ⋃ p ∈ P ( z ) A p | . {\displaystyle S(A,P,z):=\left\vert A\setminus \bigcup _{p\in P(z)}A_{p}\right\vert .}
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定式化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/19 09:12 UTC 版)
strong CP 問題は量子色力学 (Quantum Chromodynamics, QCD) に立脚して定式化される。この理論は S U ( 3 ) {\displaystyle SU(3)} ゲージ対称性により定まる非可換ゲージ理論であり、クォークの6種類のフレーバー（u、d、s、c、b および t）はいずれも S U ( 3 ) {\displaystyle SU(3)} の基本表現（定義表現）に従って変換されるディラック場の三つ組である。クォーク場 q {\displaystyle q} のラグランジアンは、和をフレーバーに関する和として L Q C D , q = ∑ f q ¯ f ( i γ μ D μ − m f ) q f {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD,q} }=\sum _{f}{\bar {q}}_{f}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m_{f})q_{f}} D μ = ∂ μ − i g A μ a T a {\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }-igA_{\mu }^{a}T_{a}} により与えられる。 A μ a {\displaystyle A_{\mu }^{a}} がグルーオン場である。 強い CP 問題は QCD の真空状態の構造に由来する CP 対称性を破る項が理論的に存在することとして定式化される。このような真空状態の構造は U ( 1 ) {\displaystyle U(1)} 問題として知られる問題を解決する過程で発見された。
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定式化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/01 07:42 UTC 版)
有効な時間周波数分布を定式化する方法として有名なものを以下に挙げる。 短時間フーリエ変換（ガボール変換（英語版）を含む） ウェーブレット変換 双線形時間周波数分布関数（英語版）（ウィグナー分布関数） 修正ウィグナー分布関数（英語版）、ガボール・ウィグナー分布関数など（ガボール・ウィグナー変換（英語版）を参照） ヒルベルト・ファン変換（英語版）
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定式化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/05 15:39 UTC 版)
3次元ユークリッド空間に滑らかに埋め込まれた曲面 f : U → R3, U ⊂ R2 を考える(曲面を平面R2の一部Uから空間 R3への連続写像fによる像f(U)とみなしている）。 曲面が z = f (x,y) によって与えられたとする。 曲面上のある1点における全ての単位接ベクトルを考え、その法曲率（その点における接平面に垂直な平面と曲面との交わりにより生成される曲線の曲率）の最大値、最小値をそれぞれ k1、k2とし、これを主曲率という。 これは、曲面が原点( 0, 0, 0 )で平面 z = 0 と接していると仮定し、適当に曲面を z 軸に関して回転させることにより xy の係数を 0 にすると、 f ( x , y ) = 1 2 k 1 x 2 + 1 2 k 2 y 2 + . . . {\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{2}}k_{1}x^{2}+{\frac {1}{2}}k_{2}y^{2}+...} 上式のように f をテイラー展開した時に現れる係数 k1、k2が原点における主曲率となる。 すると、ガウス曲率は主曲率の積： K = k 1 ⋅ k 2 . {\displaystyle K=k_{1}\cdot k_{2}.} として定義される。 ここで第一基本形式 I = E d u 2 + 2 F d u d v + G d v 2 . {\displaystyle I=E\,du^{2}+2F\,du\,dv+G\,dv^{2}.\,} および第二基本形式 I I = L d u 2 + 2 M d u d v + N d v 2 . {\displaystyle II=L\,du^{2}+2M\,du\,dv+N\,dv^{2}.\,} を用いると、その行列式によってガウス曲率は次のように表される。 K = det I I det I = L N − M 2 E G − F 2 . {\displaystyle K={\frac {\det II}{\det I}}={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}}.} 曲面の第一基本形式はその曲面の伸び縮み具合、即ち内在的性質（計量に関する性質）を表すものであり、第二基本形式は凸凹の具合などの曲面の空間への入り方（埋め込み方）、即ち外在的性質を表すものである。この式には第二基本形式 I I {\displaystyle II} が含まれているが、「驚異の定理」の主張するところは、これが第一基本形式 I {\displaystyle I} のみで表すことが出来るというものである。 ブリオスキの公式（英語版）によると、 K = det | − 1 2 E v v + F u v − 1 2 G u u 1 2 E u F u − 1 2 E v F v − 1 2 G u E F 1 2 G v F G | − det | 0 1 2 E v 1 2 G u 1 2 E v E F 1 2 G u F G | ( E G − F 2 ) 2 {\displaystyle K={\frac {\det {\begin{vmatrix}-{\frac {1}{2}}E_{vv}+F_{uv}-{\frac {1}{2}}G_{uu}&{\frac {1}{2}}E_{u}&F_{u}-{\frac {1}{2}}E_{v}\\F_{v}-{\frac {1}{2}}G_{u}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{v}&F&G\end{vmatrix}}-\det {\begin{vmatrix}0&{\frac {1}{2}}E_{v}&{\frac {1}{2}}G_{u}\\{\frac {1}{2}}E_{v}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{u}&F&G\end{vmatrix}}}{(EG-F^{2})^{2}}}} となり、確かに第一基本量 E , F , G {\displaystyle E,F,G} とその微分だけでガウス曲率が求まることが分かる。
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定式化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 23:36 UTC 版)
単位元 1 を持つ単位的環 A が与えられたとき、A 上の射影直線 P(A) は斉次座標系（英語版）によって特定される点からなる。A の単元群を U とし、A × A において関係 ∼ を (a,b) ∼ (c,d) ⇔ ua = c ∧ ub = d (∃u ∈ U) と定めると、∼ は同値関係である。この同値類を典型的には U(a, b) と書く。このとき、P(A) は P(A) = {U(a,b) | a と b は互いに素} と定義される。ここに、a, b が「互いに素」とは a, b の生成するイデアルが A 全体になる (aA + bA = A) ことを言う。 射影直線 P(A) は、射影変換群 (homography group) を作用域に持つ。この各射影変換は A 上の行列環とその単元群 GL2(A) によって表される。すなわち、A の単元群 U の中心 Z(U) に属するスカラーに対応するスカラー行列の全体を Z2(U) とすれば、Z2(U) の P(A) への作用は自明であり、Z2(U) は GL2(A) の正規部分群で、P(A) 上の射影変換群は剰余群 PGL2(A) = GL2(A)/Z2(U) に同型である。 埋め込み a ↦ U(a, 1) によって P(A) は A のコピーを含むから、射影直線 P(A) を環 A の拡張と看做すことができる。反転写像 u ↦ 1/u（通常は A の単元群 U に制限される）は P(A) 上の射影変換 U ( a , 1 ) ( 0 1 1 0 ) = U ( 1 , a ) ∼ U ( a − 1 , 1 ) . {\displaystyle U(a,1){\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}=U(1,a)\thicksim U(a^{-1},1).} で表される。さらに言えば、u,v ∈ U ( v 0 0 1 ) ( 0 1 1 0 ) ( u 0 0 1 ) ( 0 1 1 0 ) = ( v 0 0 u ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}v&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v&0\\0&u\end{pmatrix}}} と書けるから、 U ( a , 1 ) ( v 0 0 u ) = U ( a v , u ) ∼ U ( u − 1 a v , 1 ) {\displaystyle U(a,1){\begin{pmatrix}v&0\\0&u\end{pmatrix}}=U(av,u)\thicksim U(u^{-1}av,1)} であり、特に A 上の内部自己同型は P(A) まで拡張できる。u は任意だから、u−1 で置き換えれば、写像 a ↦ uav も射影変換に拡張できる。一般に、 U ( z , 1 ) ( a c b d ) = U ( z a + b , z c + d ) ∼ U ( ( z c + d ) − 1 ( z a + b ) , 1 ) . {\displaystyle U(z,1){\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=U(za+b,zc+d)\thicksim U((zc+d)^{-1}(za+b),1).} が成り立つので、P(A) 上の射影変換は一次分数変換 (linear-fractional transformation) と呼ばれる。
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定式化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/11 06:34 UTC 版)
モジュラスとは（または射因子(ray divisor)とも言う）、正の整数の指数をもつ K の付値（また、素点(place)、素因子(prime)とも言う）の形式的有限積のことを言う。モジュラスの中に現れるアルキメデス的な付値（無限素点ともいう）は、完備化が複素数ではなく実数になるもののみを含む。そのような無限素点は K の順序と対応し、モジュラスにおいては必ず指数 1 である。 モジュラス m は、非アルキメデス的（有限）付値部分 mf とアルキメデス的（無限）付値部分 m∞ の積である。有限部分 mf は K の整数環 OK のゼロでないイデアルと対応し、無限部分 m∞ は K の実埋め込みいくつかの集合に対応する。モジュラス m にたいして次の二つの群 Im および Pm を次のように定める。Im は m と互いに素な全ての分数イデアルの群である（ mf に現れる全ての素イデアルを含ふくまないという条件で、ここには無限部分に対する条件は課さない）。Pm は Imのうちで主分数イデアル (u/v) であって次の条件をみたすもののなす部分群である。ここで u と v 、 m∞ の各々の整環の中で mf と互いに素であり、u ≡ v mod mf であり、m∞に属する全ての順序に対し u/v > 0 であるような OK のゼロでない元である。 （Pm の定義としてはある生成元があたえられた条件をみたせばよい、ということに注意する。例えば、K を有理数体として m=4 とする。イデアル (3) は 3/1 を生成元としてとるとこれは 3 と 1 は mod 4 で等しくないので条件はみたさないが、-3/1 をその生成元としてとれば -3 と 1 mod 4 で等しく、これは条件をみたす。したがってイデアル (3) は P4 に属する。一方で -3/1<0 であるため、(3) は P4∞ には属さない。） Im と Pm の間にある任意の群 H に対し、商 Im/H を一般化されたイデアル類群と呼ぶ。 存在定理によれば K のアーベル拡大と上で定義した一般化されたイデアル類群が一対一に対応し、その拡大のガロア群となる。一般化されたイデアル類群が有限群であるという事実は、通常のイデアル類群が有限であるという証明と同様に、あらかじめそれらが有限次拡大のガロア群である事を示すことによって証明できる。
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定式化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/18 23:54 UTC 版)
数学的には、量子電磁力学（以下、QEDと表記）はU(1)対称性を持つ可換ゲージ理論である。電荷を持つ物質場同士の相互作用を媒介するゲージ場は電磁場である。 電磁場 A と相互作用する物質場 ψ についてのQED作用積分は以下のように表される。 S Q E D [ ψ , A ] = ∫ d 4 x L m a t t e r ( ψ , D ψ ) + ∫ d 4 x L A ( ∂ A ) {\displaystyle S_{\mathrm {QED} }[\psi ,A]=\int d^{4}x\,{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }(\psi ,{\mathcal {D}}\psi )+\int d^{4}x\,{\mathcal {L}}_{A}(\partial A)} ここで、 L m a t t e r {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }} は物質場のラグランジアン密度であり、微分は D ψ {\displaystyle {\mathcal {D}}\psi } は共変微分 D μ ψ j ( x ) = ∂ μ ψ j ( x ) − i e A μ ( x ) Q j ψ j ( x ) {\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }\psi _{j}(x)=\partial _{\mu }\psi _{j}(x)-ieA_{\mu }(x)Q_{j}\psi _{j}(x)} に置き換えられる。e は電磁相互作用の結合定数で素電荷である。Qj は物質 ψj の U(1) チャージである。 L A ( ∂ A ) {\displaystyle {\mathcal {L}}_{A}(\partial A)} は電磁場の運動項であり、 L A ( ∂ A ) = − 1 4 F μ ν F μ ν {\displaystyle {\mathcal {L}}_{A}(\partial A)=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }} である。 F μ ν = ∂ μ A ν − ∂ ν A μ {\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }} は電磁場テンソルである。
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定式化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/28 13:48 UTC 版)
スターク予想の最も一般的な形式は、「アルティンのL-函数の主要項は、スターク単数基準と呼ばれる代数的数で表された単数基準の積で表される」という予想である。体の拡大がアーベル的で、L-函数の s = 0 における位数が 1 のとき、精密化されたスターク予想は、根が基礎体 k のアーベル拡大となる K のクンマー拡大を生成するスタークユニットの存在を予想する（K がアーベル拡大でない場合は、クンマー理論で拡大する）。このスターク予想の精密化には、ヒルベルトの第12問題を解くという理論的な意味がある。また、特別な場合にはスタークユニットの計算が可能であるため、精密化されたスターク予想の信憑性の評価が可能であるほか、代数体のアーベル拡大を生成する重要な計算機的方法が得られる。実際、代数体のアーベル拡大を計算する標準的なアルゴリズムには、拡大を生成するスタークユニットの生成操作を含むものがある（後述）。
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定式化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/13 08:32 UTC 版)
ラグランジュ形式において、力学系の運動状態を指定する力学変数は一般化座標 q ( t ) = ( q 1 ( t ) , … ) {\displaystyle q(t)=(q_{1}(t),\ldots )} である。力学系の性質は一般化座標とその微分（一般化速度）、および時間を変数とする関数 L ( q ( t ) , q ˙ ( t ) , t ) {\displaystyle L(q(t),{\dot {q}}(t),t)} によって記述される。この力学系の性質を記述する関数 L はラグランジュ関数（ラグランジアン）と呼ばれる。 ラグランジュ形式において、作用汎関数はラグランジュ関数の時間積分 S [ q ] = ∫ t I t F L ( q ( t ) , q ˙ ( t ) , t ) d t {\displaystyle S[q]=\int _{t_{\text{I}}}^{t_{\text{F}}}L(q(t),{\dot {q}}(t),t)\,dt} として与えられる。一般化座標は実際には起こらない運動の値も取りうるが、そこから実際の運動を導く方法が最小作用の原理である。すなわち、作用汎関数が最小となる運動が実際に起こる運動である。 作用の停留条件から、ラグランジュの運動方程式（オイラー＝ラグランジュ方程式） δ S [ q ] δ q i ( t ) = ∂ L ∂ q i − d d t ∂ L ∂ q ˙ i = 0 {\displaystyle {\frac {\delta S[q]}{\delta q_{i}(t)}}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=0} が得られる。これはニュートンの運動方程式と同等である。
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定式化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/13 23:39 UTC 版)
「ホルム＝ボンフェローニ法」の記事における「定式化」の解説
本手法は以下の通りである。 小さい順 P 1 , … , P m {\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{m}} に並べられた m {\displaystyle m} 個のp値とそれらに対応する仮説 H 1 , … , H m {\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{m}} を持っていることを考える。ファミリーワイズエラー率は事前に設定した特定の有意水準 α {\displaystyle \alpha } 以下にしたい。 P 1 < α / m {\displaystyle P_{1}<\alpha /m} であるならば、 H 1 {\displaystyle H_{1}} を棄却し、次の段階に進む。さもなければここで検定を止める。 P 2 < α / ( m − 1 ) {\displaystyle P_{2}<\alpha /(m-1)} であるならば、 H 2 {\displaystyle H_{2}} も棄却し、次の段階に進む。さもなければここで検定を止める。 これを繰り返す。それぞれのP値について、 P k < α m + 1 − k {\displaystyle P_{k}<{\frac {\alpha }{m+1-k}}} かどうかを検定し、条件を満たせば H k {\displaystyle H_{k}} を棄却し、次のより大きなP値について調べる。さもなければここで検定を止める。 この手法はファミリーワイズエラー率が ≤ α {\displaystyle \leq \alpha } であることを保証する。
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定式化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 14:52 UTC 版)
マルコフの不等式は、測度論的には、(X,Σ,μ) を測度空間とし、f を拡張実数値（無限大もとりうる）可測関数とし、 t > 0 とすれば、 μ ( { x ∈ X | | f ( x ) | ≥ t } ) ≤ 1 t ∫ X | f | d μ {\displaystyle \mu (\{x\in X|\,|f(x)|\geq t\})\leq {1 \over t}\int _{X}|f|\,d\mu } であることを述べる。空間の測度が 1 である特別な場合（つまり確率空間である）には、次のように言い換えられる： X を任意の確率変数とし、a > 0 とすると、 Pr ( | X | ≥ a ) ≤ E ( | X | ) a {\displaystyle {\textrm {Pr}}(|X|\geq a)\leq {\frac {{\textrm {E}}(|X|)}{a}}}
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定式化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/15 06:57 UTC 版)
熱力学においてエントロピー S {\displaystyle S} は状態量のひとつであり、物質の温度 T {\displaystyle T} その他の状態量の関数とみなされる。ただし熱力学の枠内では（本定理あるいは熱力学第三法則を除くと）エントロピーはその値の差分だけに意味があり、任意の定数を加えて再定義することができる。ネルンストの定理は絶対零度 T = 0 {\displaystyle T=0} においてエントロピー S {\displaystyle S} はゼロであることを主張する。 S ( T = 0 ) = 0 {\displaystyle S(T=0)=0} すなわち、後述のように熱力学の枠内ではネルンストの定理はエントロピーの原点 S = 0 {\displaystyle S=0} を定めるものとみなされる。 統計力学の立場では、エントロピーは可能な状態数 W {\displaystyle W} の対数（ボルツマンの原理） S = k B ln W {\displaystyle S=k_{\mathrm {B} }\ln W} （ k B {\displaystyle k_{\mathrm {B} }} はボルツマン定数）であり、絶対零度では物質は基底状態という特定のひとつの状態を取る結果として S = 0 {\displaystyle S=0} となる。ただしこれは基底状態が一意である完全結晶などについてのみ成立し、基底状態が縮退して存在する不完全結晶などの場合には絶対零度でもゼロでないエントロピー（残留エントロピー（英語版）, 英: residual entropy）が存在する。この場合、ネルンストの定理は lim N → ∞ S ( T = 0 ) N = 0 {\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {S(T=0)}{N}}=0} を意味する。また、ネルンストの定理は量子統計力学に基づくものであり、本質的に古典的な系については必ずしも適用できない。
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定式化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/11 15:22 UTC 版)
量子色力学（以下、QCDと表記）はゲージ群 SU(3) に基づくヤン＝ミルズ理論である。カラー SU(3) の電荷を持つディラック場（クォーク）同士の相互作用を媒介するゲージ場はグルーオンである。 グルーオンと相互作用するディラック場についてのQCDラグランジアン密度は以下のように記述される。 L QCD = ∑ ψ ( i ψ ¯ j γ μ ( D μ ψ ) j − m ψ ψ ¯ j ψ j ) − 1 4 G μ ν a G a μ ν {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{QCD}}=\sum _{\psi }\left(i{\bar {\psi }}^{j}\gamma ^{\mu }({\mathcal {D}}_{\mu }\psi )_{j}-m_{\psi }{\bar {\psi }}^{j}\psi _{j}\right)-{\frac {1}{4}}G_{\mu \nu }^{a}G^{a\mu \nu }} ここで、ディラック場 ψ j {\displaystyle \psi _{j}} はカラーの添え字 i = 1 , 2 , 3 {\displaystyle i=1,2,3} を持ち、その共変微分は ( D μ ψ ) j = ∂ μ ψ j − i g s G μ a [ T a ] j k ψ k {\displaystyle ({\mathcal {D}}_{\mu }\psi )_{j}=\partial _{\mu }\psi _{j}-ig_{s}G_{\mu }^{a}[T^{a}]_{j}{}^{k}\psi _{k}} である。gs は強い相互作用のゲージ結合定数で、Ta（a=1,...,8） は SU(3) の生成子である。 G μ a {\displaystyle G_{\mu }^{a}} はSU(3)c のゲージ場、即ちグルーオンである。ゲージ場の強度は G μ ν a = ∂ μ G ν a − ∂ ν G μ a + g s f a b c G μ b G ν c {\displaystyle G_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }G_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }G_{\mu }^{a}+g_{s}f^{abc}G_{\mu }^{b}G_{\nu }^{c}} となる。ここで fabc は SU(3) の構造定数である。 ラグランジアンに L QCD ′ = L QCD + g s 2 θ 16 π 2 G μ ν a G ~ a μ ν {\displaystyle {\mathcal {L}}'_{\text{QCD}}={\mathcal {L}}_{\text{QCD}}+{\frac {g_{s}^{2}\theta }{16\pi ^{2}}}G_{\mu \nu }^{a}{\tilde {G}}^{a\mu \nu }} という変換を施しても運動方程式は変化しない。ここで G ~ a μ ν = ϵ μ ν ρ σ G ρ σ a {\displaystyle {\tilde {G}}^{a\mu \nu }=\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }G_{\rho \sigma }^{a}} である。
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定式化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/17 21:34 UTC 版)
ニュートン力学の下では、質点が N {\displaystyle N} 個の質点系における全角運動量ベクトルは、 L → t o t = ∑ j = 1 N m j r → j × r → ˙ j {\displaystyle {\vec {L}}_{tot}=\sum _{j=1}^{N}m_{j}{\vec {r}}_{j}\times {\dot {\vec {r}}}_{j}} と表される。ここで、 m j {\displaystyle m_{j}} 、 r → j {\displaystyle {\vec {r}}_{j}} 、 r → ˙ j {\displaystyle {\dot {\vec {r}}}_{j}} はそれぞれj番目の質点の、質量、系の重心を原点とした位置ベクトル、系の重心を原点とした速度ベクトル、を表す。これに、相対論的効果を加味すると、質量の m j {\displaystyle m_{j}} は、 m j ∗ = m j ⋅ [ 1 + r → ˙ j 2 2 c 2 − 1 2 c 2 ( ∑ k ≠ j G m k | r → k − r → j | ) ] {\displaystyle m_{j}^{*}=m_{j}\cdot \left[1+{\frac {{\dot {\vec {r}}}_{j}^{2}}{2c^{2}}}-{\frac {1}{2c^{2}}}\left(\sum _{k\neq j}{\frac {Gm_{k}}{|{\vec {r}}_{k}-{\vec {r}}_{j}|}}\right)\right]} で置き換えられる。ここで、 c {\displaystyle c} は真空中の光速、 G {\displaystyle G} は重力定数である。
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定式化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/16 05:06 UTC 版)
弦の基本周波数 f0 は以下の特徴を持つ。 a) 弦の長さ L に反比例する（ピタゴラスの法則） f 0 ∝ 1 L {\displaystyle f_{0}\propto {\frac {1}{L}}} (式26) b) 張力 F の平方根に比例する f 0 ∝ F {\displaystyle f_{0}\propto {\sqrt {F}}} (式27) c) 弦の単位長さ当たりの質量 μ の平方根に反比例する f 0 ∝ 1 μ {\displaystyle f_{0}\propto {\frac {1}{\sqrt {\mu }}}} (式28) したがってたとえば、弦の性質がほかの点で変化しないとすれば、音を1オクターブ高くする（振動数2倍）には、長さをその係数で割る (1/2倍) か、張力に係数の自乗をかける (4倍) か、単位長さあたりの質量を係数の自乗で割る (1/4倍) といい。 オクターブ長さ張力質量11 1 1 21/2 = 0.5 2² = 4 1/2² = 0.25 31/3 = 0.33 3² = 9 1/3² = 0.11 41/4 = 0.25 4² = 16 1/4² = 0.0625 81/8 = 0.125 8² = 64 1/8² = 0.015625 これらの法則はメルセンヌの論文の式22 f 0 = ν λ = 1 2 L F μ {\displaystyle f_{0}={\frac {\nu }{\lambda }}={\frac {1}{2L}}{\sqrt {\frac {F}{\mu }}}} から導かれる。ここで ν は速度、λ は波長である。 笛や管楽器に対しては、同時期に同じような法則は発展しなかった。メルセンヌの法則が発展したのは、管楽器の音高が「振動」ではなく縦波によって決まるという考え方が確立するより早かったためである。
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定式化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/14 10:52 UTC 版)
自然数 n に対して、n の互いに異なる素因数の積を n の根基 (radical) と呼び、rad n と書く。以下に例を挙げる。 p が素数ならば、rad(p) = p. rad(8) = rad(23) = 2. rad(45) = rad(32 ⋅ 5) = 3 ⋅ 5 = 15. 自然数の組 (a, b, c) で、a + b = c, a < b で、a と b は互いに素であるものを abc-triple と呼ぶ。大抵の場合は c < rad(abc) が成り立つが、ABC予想が主張するのはこれが成り立たない例（例えば、a = 1, b=8 のとき c=9 であり、rad(abc) = 6 である）の方である。ただし、c> rad(abc) が成り立つ例も無限に存在するため、rad(abc) を少しだけ大きくすることで例を有限個にできないかどうかを考える。すなわち、ABC予想は任意の ε > 0 に対して、次を満たすような自然数の組 (a, b, c) は高々有限個しか存在しないであろうと述べている： c > rad ( a b c ) 1 + ε . {\displaystyle c>\operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }.} これと同値な他の定式化（Oesterlé–Masser の ABC予想）として次のものがある。すなわち、任意の ε > 0 に対してある K(ε) > 0 が存在し、全ての abc-triple (a, b, c) について次が成り立つという： c < K ( ε ) ⋅ rad ( a b c ) 1 + ε {\displaystyle c
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定式化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/11/01 04:45 UTC 版)
「メトロポリス・ヘイスティングス法」の記事における「定式化」の解説
M-H アルゴリズムは目標確率分布 P ( x ) {\displaystyle P(x)} に従ったサンプルの生成を行うことが目的である。これを達成するために、漸近的に唯一の定常分布π(x)に収束するマルコフ連鎖を用いる。 ここでは簡単のため、離散の状態空間を考えることにする。マルコフ連鎖は、２つの状態間の遷移確率 P ( x ′ | x ) {\displaystyle P(x'|x)} によって一意に定義される。次の２つの条件が満たされるとき、マルコフ連鎖は定常分布に収束する。このとき、マルコフ連鎖はエルゴード性をもつという。 定常分布の存在：定常である確率分布 π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} が存在しなければならない。一つの十分条件として、詳細釣り合い条件がある。詳細釣り合い条件とは、状態 x {\displaystyle x} が π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} からの乱数であるとき、状態 x {\displaystyle x} から状態 x ′ {\displaystyle x'} への遷移確率が状態 x ′ {\displaystyle x'} から状態 x {\displaystyle x} への遷移確率と等しいこと、つまり、 π ( x ) P ( x ′ | x ) = π ( x ′ ) P ( x | x ′ ) {\displaystyle \pi (x)P(x'|x)=\pi (x')P(x|x')} となることである。 定常分布の一意性: 定常分布 π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} は一意でなければならない。十分条件の一つは、 P ( x ′ | x ) {\displaystyle P(x'|x)} がすべての x , x ′ {\displaystyle x,x'} について正になることである。 M-H アルゴリズムは遷移確率の構成により、上記の２つの条件を満たすようにマルコフ過程を設計することができる。 詳細釣り合い条件を確認しよう。 π ( x ) = P ( x ) {\displaystyle \pi (x)=P(x)} として P ( x ) P ( x ′ | x ) = P ( x ′ ) P ( x | x ′ ) {\displaystyle P(x)P(x'|x)=P(x')P(x|x')} が成り立つ必要がある。これは、以下のように書き換えられる。 P ( x ′ | x ) P ( x | x ′ ) = P ( x ′ ) P ( x ) {\displaystyle {\frac {P(x'|x)}{P(x|x')}}={\frac {P(x')}{P(x)}}} . 通常の手法として遷移確率を提案確率分布と採択確率分布に分解する。提案分布 Q ( x ′ | x ) {\displaystyle \displaystyle Q(x'|x)} は x {\displaystyle x} が与えられたときの状態 x ′ {\displaystyle x'} を提案する条件付き確率であり、採択確率 A ( x ′ , x ) {\displaystyle \displaystyle A(x',x)} は x {\displaystyle x} が与えられたときの状態 x ′ {\displaystyle x'} を採択する条件付き確率である。 P ( x ′ | x ) = Q ( x ′ | x ) A ( x ′ , x ) {\displaystyle P(x'|x)=Q(x'|x)A(x',x)} この関係を以前の式に代入して以下の式を得る。 A ( x ′ , x ) A ( x , x ′ ) = P ( x ′ ) P ( x ) Q ( x | x ′ ) Q ( x ′ | x ) {\displaystyle {\frac {A(x',x)}{A(x,x')}}={\frac {P(x')}{P(x)}}{\frac {Q(x|x')}{Q(x'|x)}}} . 次のステップとして、この式を満たす採択率を選ぶことが必要である。よくある選択として、メトロポリス選択が知られ以下の式で得られる。この値はアルゴリズムの実装に必要な値である。 A ( x ′ , x ) = min ( 1 , P ( x ′ ) P ( x ) Q ( x | x ′ ) Q ( x ′ | x ) ) {\displaystyle A(x',x)=\min \left(1,{\frac {P(x')}{P(x)}}{\frac {Q(x|x')}{Q(x'|x)}}\right)} この式が前の式を満たすことは、 A ( x ′ , x ) {\displaystyle A(x',x)} / A ( x , x ′ ) {\displaystyle A(x,x')} か A ( x , x ′ ) {\displaystyle A(x,x')} / A ( x ′ , x ) {\displaystyle A(x',x)} の少なくとも片方 が1以上になることから確認できる。 また、これは A ( x ′ , x ) {\displaystyle A(x',x)} と A ( x , x ′ ) {\displaystyle A(x,x')} を一般性を失うことなく入れ替えることができるからである。 実装の観点からはMetropolis–Hastings アルゴリズムは以下のステップから成り立っている。 初期化： ランダムに x {\displaystyle x} を設定する Q ( x ′ | x ) {\displaystyle \displaystyle Q(x'|x)} に従い x ′ {\displaystyle x'} を生成する A ( x ′ , x ) {\displaystyle \displaystyle A(x',x)} に従い採択し x ′ {\displaystyle x'} に遷移する。採択されない場合は、 x ′ = x {\displaystyle x'=x} となり値を更新しない。 T {\displaystyle T} 回以下であれば２に戻る 値を保存する。２に戻る。 サンプルを適切に集めるためには、 T {\displaystyle T} は提案分布や採択率とが別に決められ、ステップ４においてサンプルが相関していないことが必要である。マルコフ過程の自己相関時間の時間のオーダーによる。 一般的にこのパラメータの決定は簡単ではないことは重要な点である。問題に対して適切にパラメータは決定されるべきである。分布に関する知識が全くない場合には一様分布が提案分布として選ばれることもある。この場合、状態 x {\displaystyle x} と状態 x ′ {\displaystyle x'} はいつも相関しないために T {\displaystyle T} の値は 1 {\displaystyle 1} に設定される。
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定式化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/05/04 13:24 UTC 版)
「ハーン-バナッハの定理」の記事における「定式化」の解説
定理の最も一般な定式化においては、いくつかの準備が必要とされる。実数体 R 上のベクトル空間 V に対し、関数 ƒ : V → R が劣線形（英語版）であるとは、 任意の および x ∈ V に対して が成立する（正同次性） 任意の x, y ∈ V に対して が成立する（劣加法性） が成立することを言う。 V 上のすべての半ノルム（特に、V 上のすべてのノルム）は劣線形である。他の劣線形関数、特に凸集合のミンコフスキー汎関数なども同様に有用なものとなりうる。 ハーン-バナッハの定理は次のようなものである: が劣線形関数で、φ: U → R が線形部分空間 U ⊆ V 上の線形汎関数であり、U 上では φ は によって支配されるようなもの、すなわち (Rudin 1991, Th. 3.2) ハーン-バナッハの定理の別形態は次のようなものである: V を係数体 K （実数 R あるいは複素数 C）上のベクトル空間とし、 を半ノルムとし、φ: U → K を V の K-線形部分空間 U 上の K-線形汎関数とし、U 上ではその絶対値が によって支配されるもの、すなわち この定理の複素数の場合において C-線形性を仮定として要求するということは、実数の場合での仮定に、すべてのベクトル x ∈ U に対して、ベクトル i x も U に属し、φ(i x) = i φ(x) が成立するという仮定を加えて要求するということである。 一般には、拡張 ψ は φ によって一意に定まるものではなく、また、定理の証明を見ても ψ を見つける明示的な方法は分からない。無限次元空間 V の場合には、選択公理の一形態であるツォルンの補題が、証明に必要とされる。 (Reed & Simon 1980)によれば、 に対する劣線形性の条件は、条件 に、少し弱めることが出来る。この条件は、ハーン-バナッハの定理と凸性の間の深い関係を明らかにするものである。 Mizarプロジェクトは、ハーン-バナッハの定理の完全な定式化と自動検証された証明をHAHNBAN fileに有している。
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定式化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 09:29 UTC 版)
空でない全順序集合Rで、以下の4条件を満たすものが与えられたとする。 Rは最小元も最大元も持たない。 R上のその順序は稠密である。(任意の異なる2元の間に、第3の元が必ず存在する。) R上のその順序は完備である。すなわち、任意の空でない有界な集合は上限と下限を持つ。 R上の互いに交わらない空でない開区間の族は、その濃度が高々可算となる。(すなわち、Rは 可算鎖条件 : c.c.c. を満たす) このとき、Rは必ず実数直線Rと順序位相同型となるか？ もし、Rが可算鎖条件を満たすための必要条件が、Rが可算な稠密部分集合を持つ(すなわち、Rが可分空間である)ことに置き換えられるなら、この問いの答えはyesでこのようなRは実数直線Rに順序位相同型となる。
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定式化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/02/29 18:13 UTC 版)
Kurt Meyberg（ドイツ語版） による定式化は以下の通りである。 （乗法的に書かれた）半群 H ≠ ∅ {\displaystyle H\neq \emptyset } と可換体 K {\displaystyle K} 、および H {\displaystyle H} から K ∗ {\displaystyle K^{*}} （ K {\displaystyle K} の単元群）への準同型 σ 1 , … , σ n ( n ∈ N ) {\displaystyle {\sigma }_{1},\ldots ,{\sigma }_{n}\;\;(n\in \mathbb {N} )} が与えられたとき、以下は同値。 (A1) σ 1 , … , σ n {\displaystyle {\sigma }_{1},\ldots ,{\sigma }_{n}} は相異なる。 (A2) H {\displaystyle H} から K {\displaystyle K} への写像全体を K {\displaystyle K} 上のベクトル空間とみなして A b b ( H , K ) {\displaystyle \mathrm {Abb} (H,K)} と書くと、 σ 1 , … , σ n {\displaystyle {\sigma }_{1},\ldots ,{\sigma }_{n}} は A b b ( H , K ) {\displaystyle \mathrm {Abb} (H,K)} の元として線型独立である。
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定式化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/01/25 03:10 UTC 版)
厳密に言えば広義積分とは積分の一種ではなく、以下のような形の式の総称である。まず lim b → c ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \lim _{b\to c}\int _{a}^{b}f(x)\,dx} ここで c は正または負の無限大であるか、x → c -0につれて|f (x)|が無限大となるような定数である。または lim b → a ∫ b c f ( x ) d x {\displaystyle \lim _{b\to a}\int _{b}^{c}f(x)\,dx} ここで a は正または負の無限大であるか、x → a +0 につれて|f (x)|が無限大となるような定数である。あるいは以下のような形もある。 lim s → a ∫ s b f ( x ) d x + lim t → c ∫ b t f ( x ) d x {\displaystyle \lim _{s\to a}\int _{s}^{b}f(x)\,dx+\lim _{t\to c}\int _{b}^{t}f(x)\,dx} a および c は正または負の無限大であるか、x が積分区間の内側から近づくにつれて|f (x)|が無限大となるような定数である。この値は（存在する限り）b の取り方によらない。 こうして、この分野における基本的な問がどんなものか分かる： 極限は（解析学的な意味で）存在するか？ 存在するとして、その値を計算できるか？ 2つ目の問には微積分計算のテクニックも使えるが、場合により周回積分やフーリエ変換等の高度な技法が必要なこともある。
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定式化
「定式化」の例文・使い方・用例・文例
- 帰属理論とは、オーストリア学派経済学の基本的な考えを定式化したものだ。
- 調査を導くのに役立つ一般的定式化の、調査を導くのに役立つ一般的定式化に関する、または、調査を導くのに役立つ一般的定式化を用いた
- 地層学の基本原理の最初の定式化でリスターを認めることは、間違って賞賛を与えるだろう
- 考えまたは説明を発明または考え付くそしてそれを精神的に定式化する
- 明確に定義されるか、または定式化される
- プランや重要な細部の定式化
- 英国の化学者ウィリアム・ヘンリーによって定式化された法則
- 遠方の銀河（レッドシフト）の後退の速度が観察者から遠ざかる距離と比例しているという定式化
- 植物による彼の実験に基づいてグレゴール・メンデルによって定式化された遺伝の2つの原則の1つ
- 英国の化学者で、二酸化炭素を特定し比熱と潜熱の概念を定式化した（1728年−1799年）
- ドイツの生まれの物理学者で、特殊相対性理論と一般相対性理論を定式化した
- フランスの化学者、物理学者で、ホウ素を初めて分離し、定圧下でのガスの動きについて述べた法を定式化した（1778年−1850年）
- 米国の弁護士、政治家で、1930年から1966年まで米国の映画の道徳的な内容を定めた製造規則を定式化した（1879年−1954年）
- 英国の科学者で、弾性の法則を定式化し、光の波動説を提案し、惑星運動の理論を定式化し、重力の逆二乗の法則を提案し、コルクの細胞組織を発見し、『細胞』という用語を生物学に取り入れ、腕時計のひげぜんまいを発明した（1635年−1703年）
- オランダの物理学者で、光の波動説を最初に定式化した（1629年−1695年）
- フランスの数学者、天文学者で、太陽系の起源に関して星雲説を定式化し、確率論を展開した（1749年−1827年）
- ドイツ人の物理学者、化学者で、熱力学の第3法則を定式化した（1864年−1941年）
- ドイツの生理学者、組織学者で、細胞学を1838年に定式化した（1804年−1881年）
- 英国の自然主義者で、チャールズ・ダーウィンの進化論に似た進化論を定式化した（1823年−1913年）
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