定式化とは? わかりやすく解説

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定式化


定式化

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定式化

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/02/24 16:19 UTC 版)

インパクトファクター」の記事における「定式化」の解説

インパクトファクターWeb of Science収録雑誌3年分のデータ用いて計算される任意の年における2年間ジャーナルインパクトファクター(two-year journal impact factor)は、そのジャーナルの全出版物について過去2年間に発行された引用数と、そのジャーナル過去2年間に発行された引用可能なアイテム後述)」との比率である。定式化すると、以下の通りである。 IF y = Citations y Publications y − 1 + Publications y − 2 {\displaystyle {\text{IF}}_{y}={{\text{Citations}}_{y} \over {\text{Publications}}_{y-1}+{\text{Publications}}_{y-2}}}

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2017/05/23 13:44 UTC 版)

斉次座標環」の記事における「定式化」の解説

V は多様体 (variety) と仮定されているから既約代数的集合であるからイデアル I は素イデアルあるよう選べて、R は整域である。同じ定義は一般斉次イデアルに対して使えるが、このとき得られる座標環は 0 でない冪零元他の零因子を含むかもしれないスキーム論観点からこれらのケースProj construction の手段によって同じ足場の上で扱うことができる。 斉次イデアル I と多様体間の対応はすべての Xi生成されイデアル J を含まないイデアルに対して全単射である。すべての斉次座標射影空間のある点で消えることができるわけではないから J は空集合対応する。この対応は射影零点定理英語版)として知られている

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2016/12/10 07:33 UTC 版)

合同ゼータ関数」の記事における「定式化」の解説

有限体 F = Fq与えられたとき、自然数 k = 1, 2, ... に対し拡大次数が [ Fk : F ] = k である体 Fk = Fqk が同型を除き一意存在する。F 上の多項式からなる方程式系、あるいは、代数多様体 V が与えられると、Fk における解の数 Nk数えることができ、その生成母関数 G ( t ) = N 1 t + N 2 t 2 / 2 + N 3 t 3 / 3 + ⋯ {\displaystyle G(t)=N_{1}t+N_{2}t^{2}/2+N_{3}t^{3}/3+\dotsb } を作ることができる。 局所ゼータ関数 Z(t) の定義は、log Z が G に等しくなるようにする。つまり、 Z ( t ) = exp ⁡ ( G ( t ) ) {\displaystyle Z(t)=\exp(G(t))} とする。 G(0) = 0 だから Z(0) = 1 である。また、Z(t)ア・プリオリ形式的冪級数である。 Z(t)対数微分 Z ′ ( t ) / Z ( t ) {\displaystyle Z'(t)/Z(t)} G ′ ( t ) = N 1 + N 2 t 1 + N 3 t 2 + ⋯ {\displaystyle G'(t)=N_{1}+N_{2}t^{1}+N_{3}t^{2}+\dotsb } に等しい

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2017/09/28 08:38 UTC 版)

形而上学的ニヒリズム」の記事における「定式化」の解説

形而上学的ニヒリズム立場は、一般に議論対象とする存在者具体対象Concrete object)に絞った上で次のように定式化される。 「具体対象がまったく存在しない」ことは可能である。(It is possible that nothing concrete exists.) 可能世界論枠組み用いて定式化される場合次のような形を取る。 w において「具体対象何もない」という命題真となる、そうした可能世界 w が存在する。(There is a possible world w such that "There are no concrete objects" is true at w.)。 ここで具体対象とは、たとえば椅子石ころなどのことで、抽象的対象Abstract object、数や命題や「赤(という性質概念)」など)と対置される、存在論上の対象分類一つである。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2017/10/23 06:31 UTC 版)

尖点表現」の記事における「定式化」の解説

G を数体 K 上の簡約代数群とし、A を K のアデール環とする。また、Z を G の中心、ω を Z(K)\Z(A)× から C× への連続ユニタリ指標とし、アデール群 G(A) 上のハール測度固定して、G(A) 上の複素数可測函数 f で以下を満たすもの全体の成すヒルベルト空間L 0 2 ( G ( K ) ∖ G ( A ) , ω ) {\displaystyle L_{0}^{2}(G(K)\backslash G(\mathbb {A} ),\omega )} と書く。 すべての γ ; ∈ G ( K ) {\displaystyle \gamma ;\in G(K)} に対して、 f ( γ g ) = f ( g ) {\displaystyle f(\gamma g)=f(g)} である。 すべての z ∈ Z ( A ) {\displaystyle z\in Z(\mathbb {A} )} に対して、 f ( g z ) = f ( g ) ω ( z ) {\displaystyle f(gz)=f(g)\omega (z)} である。 ∫ Z ( A ) G ( K ) ∖ G ( A ) | f ( g ) | 2 d g < ∞ {\displaystyle \int _{Z(\mathbf {A} )G(K)\backslash G(\mathbf {A} )}|f(g)|^{2}\,dg<\infty } G(A)任意の真の抛物部分群に関する任意の冪単根基 U に対して ∫ U ( K ) ∖ U ( A ) f ( u g ) d u = 0 {\displaystyle \int _{U(K)\backslash U(\mathbf {A} )}f(ug)\,du=0} を満たす。 この空間を G(A) 上の中心指標 ω を持つ尖点形式全体の成す空間といい、この空間属す函数尖点函数と呼ぶ。この空間は g ∈ G(A)尖点函数 f への作用を ( g ⋅ f ) ( x ) = f ( x g ) {\displaystyle (g\cdot f)(x)=f(xg)} L 0 2 ( G ( K ) ∖ G ( A ) , ω ) = ⨁ ( π , V π ) ^ m π V π {\displaystyle L_{0}^{2}(G(K)\backslash G(\mathbf {A} ),\omega )={\hat {\bigoplus \limits _{(\pi ,V_{\pi })}}}m_{\pi }V_{\pi }} に分解される。ここで和は L20(G(K)\G(A), ω) のすべての既約部分表現亘ってとるものとし、mπ は正の整数とする(つまり、各既約表現有限な重複度現れる)。G(A)尖点表現 は、表現 (π, V) の、適当な中心指標に対してこのように得られる部分表現をいう。 上記の分解現れる重複度 mπ が全て 1 に等しい群は、重複度一性を持つという。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2018/06/04 06:19 UTC 版)

ブシネスク近似」の記事における「定式化」の解説

密度ρが温度によって変化するとき、ナビエ-ストークス方程式は以下のうになる: ∂ ρ v ∂ t + ( v ⋅ ∇ ) ( ρ v ) = − ∇ p + μ ∇ 2 v + ( ρ − ρ 0 ) g {\displaystyle {\frac {\partial \rho {\boldsymbol {v}}}{\partial t}}+({\boldsymbol {v}}\cdot \nabla )(\rho {\boldsymbol {v}})=-\nabla p+\mu \nabla ^{2}{\boldsymbol {v}}+(\rho -\rho _{0})g} ここで右辺最終項は、基準密度ρ0 からの密度変化による浮力を表す。 ブシネスク近似では、左辺現れる密度基準密度ら変化しないとし、かつ右辺浮力項の密度変化温度変化比例する仮定する。 ∂ ( ρ 0 v ) ∂ t + ( v ⋅ ∇ ) ( ρ 0 v ) = − ∇ p + μ ∇ 2 v − ρ 0 β ( T − T 0 ) g {\displaystyle {\frac {\partial (\rho _{0}{\boldsymbol {v}})}{\partial t}}+({\boldsymbol {v}}\cdot \nabla )(\rho _{0}{\boldsymbol {v}})=-\nabla p+\mu \nabla ^{2}{\boldsymbol {v}}-\rho _{0}\beta (T-T_{0})g} ∂ v ∂ t + ( v ⋅ ∇ ) ( v ) = − 1 ρ 0 ∇ p + ν ∇ 2 v − β ( T − T 0 ) g {\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {v}}}{\partial t}}+({\boldsymbol {v}}\cdot \nabla )({\boldsymbol {v}})=-{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p+\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {v}}-\beta (T-T_{0})g} となり、非圧縮性ナビエ-ストークス方程式外力項として浮力付加されただけとなり、解析簡単になる

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2018/10/09 07:07 UTC 版)

SYZ予想」の記事における「定式化」の解説

弦理論では、ミラー対称性は、タイプ IIAタイプ IIBを関連付け2つ理論がミラーペアとなるような多様体コンパクト化すると、タイプ IIA有効場の理論タイプ IIBの理論等価となるはずである予言するSYZ予想は、この事実使いミラー対称性実現する。X の上コンパクト化されたタイプ IIA理論BPS状態、特にモジュライ空間 X を持つ 0-ブレーン考えることから始める。Y の上コンパクト化されたタイプ IIBの理論すべての BPS状態は 3-ブレーン であることが知られている従って、ミラー対称性は、タイプ IIA理論の 0-ブレーンタイプIIBの理論の 3-ブレーン部分集合写像する。 超対称性条件考えることにより、これらの 3-ブレーン特殊ラグランジアン部分多様体であることが示されている。他方T-双対この場合と同じ変換なるのでミラー対称性T-双対 である。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2018/11/30 00:36 UTC 版)

ハーン–バナッハの定理」の記事における「定式化」の解説

定理の最も一般な定式化においてはいくつかの準備必要とされる実数体 R 上のベクトル空間 V に対し関数 ƒ : V → R が劣線形英語版)であるとは、 任意の γ ∈ R + {\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} _{+}} および x ∈ V に対して f ( γ x ) = γ f ( x ) {\displaystyle f(\gamma x)=\gamma f\left(x\right)} が成立する(正同次性) 任意の x, y ∈ V に対して f ( x + y ) ≤ f ( x ) + f ( y ) {\displaystyle f(x+y)\leq f(x)+f(y)} が成立する劣加法性) が成立することを言う。 V 上のすべての半ノルム(特に、V 上のすべてのノルム)は劣線形である。他の線形関数、特に凸集合ミンコフスキー汎関数なども同様に有用なものとなりうる。 ハーン-バナッハの定理次のようなものである: N : V → R {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}:\;V\to \mathbb {R} } が劣線形関数で、φ: U → R が線形部分空間 U ⊆ V 上の線形汎関数であり、U 上では φ は N {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}} によって支配されるようなもの、すなわち φ ( x ) ≤ N ( x ) ∀ x ∈ U {\displaystyle \varphi (x)\leq {\mathcal {N}}(x)\qquad \forall x\in U} が成立するようなものとする。このとき、φ には全空間 V へのある線形拡張 ψ: V → R が存在する。すなわち、次を満たすような線形汎関数 ψ が存在する: ψ ( x ) = φ ( x ) ∀ x ∈ U {\displaystyle \psi (x)=\varphi (x)\qquad \forall x\in U} および ψ ( x ) ≤ N ( x ) ∀ x ∈ V . {\displaystyle \psi (x)\leq {\mathcal {N}}(x)\qquad \forall x\in V.} (Rudin 1991, Th. 3.2) ハーン–バナッハの定理の別形態次のようなものである: V を係数体 K (実数 R あるいは複素数 C)上のベクトル空間とし、 N : V → R {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}:\;V\to \mathbb {R} } を半ノルムとし、φ: U → K を V の K-線形部分空間 U 上の K-線形汎関数とし、U 上ではその絶対値が N {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}} によって支配されるもの、すなわち | φ ( x ) | ≤ N ( x ) ∀ x ∈ U {\displaystyle |\varphi (x)|\leq {\mathcal {N}}(x)\qquad \forall x\in U} が成立するものとする。このとき、φ には全空間 V への線形拡張 ψ: V → K が存在する。すなわち、次を満たすような K-線形汎関数 ψ が存在する: ψ ( x ) = φ ( x ) ∀ x ∈ U {\displaystyle \psi (x)=\varphi (x)\qquad \forall x\in U} および | ψ ( x ) | ≤ N ( x ) ∀ x ∈ V . {\displaystyle |\psi (x)|\leq {\mathcal {N}}(x)\qquad \forall x\in V.} この定理複素数の場合において C-線形性を仮定として要求するということは実数の場合での仮定に、すべてのベクトル x ∈ U に対してベクトル i x も U に属し、φ(i x) = i φ(x)成立するという仮定加えて要求するということである。 一般には、拡張 ψ は φ によって一意定まるものではなくまた、定理の証明見ても ψ を見つけ明示的な方法は分からない無限次元空間 V の場合には、選択公理一形態であるツォルンの補題が、証明必要とされる。 (Reed & Simon 1980)によれば、 N {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}} に対する線形性条件は、条件 N ( a x + b y ) ≤ | a | N ( x ) + | b | N ( y ) , x , y ∈ V , | a | + | b | ≤ 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}(ax+by)\leq |a|\,{\mathcal {N}}(x)+|b|\,{\mathcal {N}}(y),\qquad x,y\in V,\quad |a|+|b|\leq 1} に、少し弱めることが出来る。この条件は、ハーン–バナッハの定理凸性間の深い関係明らかにするものである。 Mizarプロジェクトは、ハーン–バナッハの定理完全な定式化と自動検証され証明をHAHNBAN file有している。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/12/31 00:59 UTC 版)

コルモゴロフの0-1法則」の記事における「定式化」の解説

コルモゴロフの0-1法則は、より一般的に独立な σ-加法に対して定式化できる。 (Ω,F,P) を確率空間Fn ⊆ F (n=1,2,...) を独立なσ-加法族の列とする。 G n = σ ( ⋃ k = nF k ) {\displaystyle G_{n}=\sigma {\bigg (}\bigcup _{k=n}^{\infty }F_{k}{\bigg )}} は Fn, Fn+1, … を含む最小の σ-加法族である。このときコルモゴロフの0-1法則によれば事象 F ∈ ⋂ n = 1G n {\displaystyle F\in \bigcap _{n=1}^{\infty }G_{n}} の確率 P(F) は 0 または 1 のいずれでなければならない確率変数についてのステートメントは、σ-加法族についてのステートメントにおいて、FnXn から生成された σ-加法族であるとすれば得られる。このとき定義より、末尾事象族は σ ( X 1 , X 2 , … X n , … ) {\displaystyle \sigma (X_{1},X_{2},\ldots X_{n},\ldots )} の部分集合であって、かつ任意の有限個の Xn から生成される加法族 σ ( X j 1 , X j 2 , … , X j l ) ( j 1 < j 2 < ⋯ < j l ) {\displaystyle \sigma (X_{j_{1}},X_{j_{2}},\ldots ,X_{j_{l}})\quad (j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{l})} とは独立あるよう事象族である。つまり末尾事象とは、積集合n = 1G n {\displaystyle \textstyle {\bigcap _{n=1}^{\infty }G_{n}}} の要素のことである。実際任意の A ∈ σ ( X j 1 , X j 2 , … , X j l ) {\displaystyle A\in \sigma (X_{j_{1}},X_{j_{2}},\ldots ,X_{j_{l}})} と任意の T ∈ ⋂ n = 1G nG j l + 1 = σ ( X j l + 1 , X j l + 2 , X j l + 3 , … ) {\displaystyle T\in \textstyle {\bigcap _{n=1}^{\infty }G_{n}}\subseteq G_{j_{l}+1}=\sigma (X_{j_{l}+1},X_{j_{l}+2},X_{j_{l}+3},\ldots )} は独立になっている。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2020/11/08 09:21 UTC 版)

分類空間」の記事における「定式化」の解説

より公式なステートメントは、G を(単に離散群とするのではなく位相群でもありうることと、G の群作用連続としうることを考えに入れる連続作用ない場合分類空間概念は、ホモトピー言葉でアイレンベルグ・マックレーン空間英語版)(EilenbergMacLane space)の構成を通して、扱うことができる。ホモトピー論では、位相空間 BG の定義、つまり、主 G-バンドル分類空間は、BG 上の普遍バンドル英語版)(universal bundle)である全空間 EG とともに与えられる。つまり、このことの結果は、実際連続写像 π : E GB G .   {\displaystyle \pi :EG\longrightarrow BG.\ } である。 CW複体(CW complex)のホモトピー圏が基礎となる圏であることを前提とするBG要求される分類するという性質は、実際、π と関連付けられる。任意の主 G-バンドル空間 Z 上に、 γ : Y ⟶ Z   {\displaystyle \gamma :Y\longrightarrow Z\ } と与えられると、Z から BG への分類写像(classifying map) φ が存在し、γ が φ に沿った π の引き戻し英語版)(pullback)であるということができなければならない抽象的な言い方では、γ のツイストによる構成は、φ を通して π の構成により既に表現されているツイストまで還元できるはずである。 このことを有益な概念とするためには、そのような空間 BG存在する信ずるにたる明白な理由なければならない抽象的にいうと、(最初にアイデア導入され時点である1950年頃にはこのように考えられてはいなかったが、) h(Z) = Z の上の主 G-バンドル同型類の集合 により定義されるホモトピー圏から集合の圏(category of sets)への反変函手が、表現函手英語版)(representable functor)かどうかを問う問題である。抽象的な条件(現在は、ブラウン表現定理英語版)(Brown's representability theorem)として知られている)は、存在定理として結果肯定的あり難すぎないことを確かめることである。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2019/07/21 03:02 UTC 版)

保型形式」の記事における「定式化」の解説

保型形式の定式化に当たっては、Γ に対する一般的な意味での保型因子群コホモロジー言葉で言えば 1-コサイクル一種)j が必要である。j は複素数値(あるいは一般にベクトル値の保型形式考え場合にはそれに応じて複素正方行列値)の函数である。保型因子課されるコサイクル条件は、j がヤコビ行列から導かれる場合には連鎖律用いて機械的に確認することができる。 一般的な状況では、保型形式は G 上のベクトル値で考え場合は、ある固定され有限次元ベクトル空間 V に値をとる)函数 F で、 Γ の元 γ による平行移動による変換所与の保型因子 j に比例する、 G 上のあるカシミール作用素英語版)の固有函数である、 無限遠での増加について特定の条件満足する という三種類の条件を満たすものである最初の条件は F が「保型性」を持つ (automorphic)、つまり γ に対して F(g) と F(γg) との間に興味深い函数等式満足されることを言っている。ベクトルの場合は具体的に、群の有限次元表現 ρ が成分作用して、それらを「ひねる」。カシミール作用素云々は、あるラプラス作用素が F を固有函数にもつということであり、これは F が優れた解析的性質を持つことを保障するが、しかしそれが実際に複素解析函数となるかどうか場合による三つ目条件は G/Γ がコンパクトだが尖点を持つ場合を扱うためのものである

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2020/12/25 14:24 UTC 版)

ナラティブセラピー」の記事における「定式化」の解説

定式化された精神療法としては、19世紀末ジークムント・フロイトによるお話し療法除反応自由連想法、また同時代ブロイアーによるカタルシス療法などが創成期ものである一般には、自由連想法こそがナラティヴセラピー原点のように考えられているきらいもあるが、治療者誘導よりも患者主体性意思尊重される点では、お話し療法や、のちのユング派の分析心理学などに近いとも言える。むしろ、クライエント自発的な心構えを準備してセラピー臨み能動的想像法の要素色濃い体験回想し物語る」という行為は、20世紀前半入ってフロイト精神分析に、ユング派分心理学たぶんに融合して生成してきたと考えるべきである。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/11/01 00:15 UTC 版)

佐藤超函数」の記事における「定式化」の解説

実数直線 R 上の佐藤超函数は、上半平面上のある正則函数下半平面上の別の正則函数との「差」であると考えられる従って、佐藤超函数上半平面上の正則函数 f と下半平面上の正則函数 g との対 (f, g) として定義することができる。 厳密ではないが、実数直線そのものの上では佐藤超函数はちょう正則函数の差 f − g になっているはずである。この差は同じ正則函数を f, g の双方同時に加えて変化しない。そこでガウス平面 C の全域正則な函数 h に対して佐藤超函数 (f, g) と (f + h, g + h) とは同値佐藤超函数であると定める。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/08/01 23:38 UTC 版)

ユークリッドの補題」の記事における「定式化」の解説

p を素数とし、2 つ整数 a, b の積 ab は p で割り切れるとする(このことは記号的に p ∣ {\displaystyle \mid } ab と表す。これの否定は p ∤ {\displaystyle \nmid } ab表されab が p で割り切れないことを示す)。このとき p ∣ {\displaystyle \mid } a または p ∣ {\displaystyle \mid } b、あるいはその両方成り立つ。 p ∣ a b ⇒ p ∣ a ∨ p ∣ b ( p ∤ a b ∨ p ∣ a ∨ p ∣ b ) . {\displaystyle p\mid ab\Rightarrow p\mid a\lor p\mid b\qquad \left(p\nmid ab\lor p\mid a\lor p\mid b\right).} 同値言明として以下のようなものがある。 p ∤ {\displaystyle \nmid } a かつ p ∤ {\displaystyle \nmid } b ならば p ∤ {\displaystyle \nmid } ab p ∤ a ∧ p ∤ b ⇒ p ∤ a b {\displaystyle p\nmid a\land p\nmid b\Rightarrow p\nmid ab} p ∤ {\displaystyle \nmid } a かつ p ∣ {\displaystyle \mid } ab ならば p ∣ {\displaystyle \mid } b p ∤ a ∧ p ∣ a b ⇒ p ∣ b {\displaystyle p\nmid a\land p\mid ab\Rightarrow p\mid b}

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2020/11/22 05:30 UTC 版)

デ・フィネッティの定理」の記事における「定式化」の解説

確率変数 X はベルヌーイ分布に従い、その確率分布実数 p∈ (0, 1) を用いて Pr(X = 1) = p, Pr(X = 0) = 1 − p と表すことができる。 デ・フィネッティの定理次のことを述べる:交換可能英語版)な任意のベルヌーイ変数無限列に対する確率分布独立同分布 (i.i.d.) なベルヌーイ変数の列の分布混合分布であるこを示す混合とはこの場合加重平均であることを意味する。ただし、有限であったり可算無限である(つまり離散的である)必要はなく、この加重平均一般に積分として与えられる。 より正確には、次のように述べることができる。X1, X2, ... をベルヌーイ分布に従う確率変数 X の交換可能無限列であるとする。また、区間 [0, 1] 上の確率分布 m と m に従う確率変数 Y があるとする。ベルヌーイ列 X1, X2, ... の全体の、与えられた Y の下での条件付き確率分布次のような性質を持つ。 X1, X2, ... は与えられた Y の下で条件付き独立英語版)であり、 任意の i ∈ {1, 2, ...} について、与えられた Y の下での Xi = 1 の条件付き確率は Y に等しい

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2020/05/18 03:31 UTC 版)

埋め込み境界法」の記事における「定式化」の解説

非圧縮性ニュートン流体の場合、ナビエ-ストークス方程式連続の式は、構造体流体及ぼす力の密度f (x , t ) を用いると以下のうになる。 ρ ( ∂ u ( x , t ) ∂ t + u ⋅ ∇ u ) = μ Δ u ( x , t ) − ∇ p + f ( x , t ) ∇ ⋅ u = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&\rho \left({\frac {\partial {u}({x},t)}{\partial {t}}}+{u}\cdot \nabla {u}\right)=\mu \Delta u(x,t)-\nabla p+f(x,t)\\&\nabla \cdot u=0\end{aligned}}} 通常流体中の構造体相互作用しあう粒子集まり表現する。j 番目の粒子座標Zj粒子j ではたらかせる力をFj とすると、力の密度f (x , t ) は以下の式のようになる。 f ( x , t ) = ∑ j = 1 N δ a ( x − Z j ) F j {\displaystyle f(x,t)=\sum _{j=1}^{N}\delta _{a}(x-Z_{j})F_{j}} ここで、δa はディラックのデルタ関数長さa のスケールで平滑化した関数である。一方構造体変形は、次式に基づいて行われるd Z j d t = ∫ δ a ( x − Z j ) u ( x , t ) d x {\displaystyle {\frac {dZ_{j}}{dt}}=\int \delta _{a}(x-Z_{j})u(x,t)dx}

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/06/14 15:11 UTC 版)

ポスト・ニュートン展開」の記事における「定式化」の解説

以下でMaggiore (2008) に従い、展開パラメータ重力源速度 v {\displaystyle v} と光速 c {\displaystyle c} の比 ϵ := v / c {\displaystyle \epsilon :=v/c} とし、 O ( ϵ n ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(\epsilon ^{n})} の量を添え字 ( n ) {\displaystyle (n)} により表す。また、物質場は非相対論的でありそのエネルギー・運動量テンソル T μ ν {\displaystyle T^{\mu \nu }} は | T i j / T 00 | = O ( ϵ 2 ) {\displaystyle \left|T^{ij}/T^{00}\right|={\mathcal {O}}(\epsilon ^{2})} を満たすものと仮定する。また光速 c {\displaystyle c} を1とする単位系採用する物質場が存在しないミンコフスキ時空では計量テンソル g μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu }} は g 00 = − 1 {\displaystyle g_{00}=-1} , g i j = δ i j {\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}} と書けるため、ポスト・ニュートン展開ではこの計量に対する補正項を ϵ {\displaystyle \epsilon } のべき級数という形で求めることになる。重力波放射無視する近似では、時間反転対称性のため例えば g 00 {\displaystyle g_{00}} には ϵ {\displaystyle \epsilon } の奇数次の項は現れないため、この展開を次のように表示することができる。 g 00 = − 1 + ( 2 ) g 00 + ( 4 ) g 00 + ( 6 ) g 00 + ⋯ {\displaystyle g_{00}=-1+{}^{(2)}g_{00}+{}^{(4)}g_{00}+{}^{(6)}g_{00}+\cdots } g 0 i = ( 3 ) g 00 + ( 5 ) g 00 + ⋯ {\displaystyle g_{0i}={}^{(3)}g_{00}+{}^{(5)}g_{00}+\cdots } g i j = δ i j + ( 2 ) g 00 + ( 4 ) g 00 + ⋯ {\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}+{}^{(2)}g_{00}+{}^{(4)}g_{00}+\cdots } 同様にエネルギー・運動量テンソル次の形に展開される。 T 00 = ( 0 ) T 00 + ( 2 ) T 00 + ⋯ {\displaystyle T^{00}={}^{(0)}T^{00}+{}^{(2)}T^{00}+\cdots } T 0 i = ( 1 ) T 00 + ( 3 ) T 00 + ⋯ {\displaystyle T^{0i}={}^{(1)}T^{00}+{}^{(3)}T^{00}+\cdots } T i j = ( 2 ) T 00 + ( 4 ) T 00 + ⋯ {\displaystyle T^{ij}={}^{(2)}T^{00}+{}^{(4)}T^{00}+\cdots }

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定式化

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バーデ-ウェッセリンク法」の記事における「定式化」の解説

バーデ-ウェッセリンク法基本式は、時間 t {\displaystyle t} における星の半径 R ( t ) {\displaystyle R(t)} と星の表面運動速度 v ( t ) {\displaystyle v(t)} から、星の半径変化量 Δ R {\displaystyle \Delta R} を求め方程式で、 Δ R = R ( t ) − R ( t 0 ) = ∫ t 0 t v ( t ) d t {\displaystyle \Delta R=R(t)-R(t_{0})=\int _{t_{0}}^{t}v(t)dt} となる。速度は、分光観測によって測定するバーデ-ウェッセリンク法用いて距離を導出するには、星の半径 R {\displaystyle R} 、視直径 θ {\displaystyle \theta } 、星までの距離 d {\displaystyle d} の間に成り立幾何学的な関係、 R d = tan ⁡ θ 2 ≈ θ 2 {\displaystyle {\frac {R}{d}}=\tan {\frac {\theta }{2}}\approx {\frac {\theta }{2}}} に基づいて、実半径変化量 Δ R {\displaystyle \Delta R} と、視直径変化量 Δ θ {\displaystyle \Delta \theta } とから、距離 d {\displaystyle d} を d = 2 Δ R Δ θ {\displaystyle d={\frac {2\Delta R}{\Delta \theta }}} によって計算する天文学よく用いられる単位採用し、距離をパーセク単位星の半径太陽半径単位視直径ミリ秒単位として式を変形すると、 d  [pc] = 9.305 ⋅ Δ R  [R ⊙ ] Δ θ  [mas] {\displaystyle d{\mbox{ [pc]}}=9.305\cdot {\frac {\Delta R{\mbox{ [R}}_{\odot }{\mbox{]}}}{\Delta \theta {\mbox{ [mas]}}}}} となる。 Δ R {\displaystyle \Delta R} は既に求めたので、あとは Δ θ {\displaystyle \Delta \theta } を測定すれば、距離を求めることができる。 視直径変化 Δ θ {\displaystyle \Delta \theta } を求めるには、主に二通りの方法がある。一つは光度曲線から、恒星大気理論を介して推定する方法もう一つは、高分解能の干渉計による観測で直測定する方法である。

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連続の方法」の記事における「定式化」の解説

B をバナッハ空間、V をノルム付きベクトル空間とし、 ( L t ) t ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle (L_{t})_{t\in [0,1]}} を B から V への有界線型作用素ノルム英語版)(norm)をもつ連続な族とする。ある定数 C が存在しすべての t ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle t\in [0,1]} とすべての x ∈ B {\displaystyle x\in B} に対し、 ‖ x ‖ B ≤ C ‖ L t ( x ) ‖ V {\displaystyle \|x\|_{B}\leq C\|L_{t}(x)\|_{V}} が成り立つとすると、 L 0 {\displaystyle L_{0}} が全射であることと、 L 1 {\displaystyle L_{1}} が全射であることとは同値である。

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浮力」の記事における「定式化」の解説

物体が受ける浮力は、その物体と同じ体積の(周囲の流体作用する重力に等しい。すなわち以下のうになるF b = ρ f V g {\displaystyle F_{b}=\rho _{f}Vg} Fb浮力(N, kg·m/s²) ρf :流体密度(kg/m³) V :物体体積(m³) g :重力加速度m/s²) この式の厳密な導出には発散定理用いる。 さらに、物体密度が ρs であるとすると、物体にはたらく重力浮力との合力は(上向きを正として)、 F = ( ρ f − ρ s ) V g {\displaystyle F=(\rho _{f}-\rho _{s})Vg} となる。したがっ物体流体より軽い(ρs < ρf )とき、F> 0 、すなわち物体は浮く 物体流体より重い(ρs > ρf )とき、F < 0 、すなわち物体は沈む ことが分かる

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ブルンの篩」の記事における「定式化」の解説

A を x 以下のいくつかの正の整数からなる集合、P を(必ずしも全てではない)素数集合(A も P もいづれも元に重複はないものとする)とし、正の実数 z に対し P(z) を P の z 以下のから成る集合とする。 P の元 p に対し Ap を A の要素で p の倍数でもある元の集合、更に P に含まれる異な素数の積として表される任意の d に対し Ad を、d の全ての素数約数 p に関する Ap共通部分とする;A1は A 自身を表すものとするA p := { a ∈ A ; p | a } {\displaystyle A_{p}:=\{a\in A;p|a\}} , A d := ∩ p | d A p {\displaystyle A_{d}:=\cap _{p|d}A_{p}} . A の P(z) によって篩われて残った集合を S で表す: S ( A , P , z ) := | A ∖ ⋃ p ∈ P ( z ) A p | . {\displaystyle S(A,P,z):=\left\vert A\setminus \bigcup _{p\in P(z)}A_{p}\right\vert .}

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定式化

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強いCP問題」の記事における「定式化」の解説

strong CP 問題は量子色力学 (Quantum Chromodynamics, QCD) に立脚して定式化される。この理論S U ( 3 ) {\displaystyle SU(3)} ゲージ対称性により定まる非可換ゲージ理論であり、クォークの6種類フレーバー(u、d、s、c、b および t)はいずれS U ( 3 ) {\displaystyle SU(3)} の基本表現(定義表現に従って変換されるディラック場三つ組である。クォーク場 q {\displaystyle q} のラグランジアンは、和をフレーバーに関する和として L Q C D , q = ∑ f q ¯ f ( i γ μ D μ − m f ) q f {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD,q} }=\sum _{f}{\bar {q}}_{f}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m_{f})q_{f}} D μ = ∂ μ − i g A μ a T a {\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }-igA_{\mu }^{a}T_{a}} により与えられる。 A μ a {\displaystyle A_{\mu }^{a}} がグルーオン場である。 強い CP 問題QCD真空状態構造由来する CP 対称性を破る項が理論的に存在することとして定式化される。このような真空状態構造U ( 1 ) {\displaystyle U(1)} 問題として知られる問題を解決する過程発見された。

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時間周波数解析」の記事における「定式化」の解説

有効な時間周波数分布を定式化する方法として有名なものを以下に挙げる短時間フーリエ変換ガボール変換英語版)を含む) ウェーブレット変換線形時間周波数分布関数英語版)(ウィグナー分布関数修正ウィグナー分布関数英語版)、ガボール・ウィグナー分布関数など(ガボール・ウィグナー変換英語版を参照) ヒルベルト・ファン変換英語版

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驚異の定理」の記事における「定式化」の解説

3次元ユークリッド空間滑らかに埋め込まれた曲面 f : U → R3, U ⊂ R2考える(曲面平面R2一部Uから空間 R3への連続写像fによる像f(U)とみなしている)。 曲面z = f (x,y) によって与えられたとする。 曲面上のある1点における全ての単位接ベクトル考え、その法曲率その点における接平面垂直な平面曲面の交わりにより生成される曲線曲率)の最大値最小値それぞれ k1k2とし、これを主曲率という。 これは、曲面原点( 0, 0, 0 )で平面 z = 0接していると仮定し適当に曲面z 軸に関して回転させることにより xy係数を 0 にすると、 f ( x , y ) = 1 2 k 1 x 2 + 1 2 k 2 y 2 + . . . {\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{2}}k_{1}x^{2}+{\frac {1}{2}}k_{2}y^{2}+...} 上式のように f をテイラー展開した時に現れる係数 k1k2原点における主曲率となる。 すると、ガウス曲率主曲率の積: K = k 1k 2 . {\displaystyle K=k_{1}\cdot k_{2}.} として定義される。 ここで第一基本形式 I = E d u 2 + 2 F d u d v + G d v 2 . {\displaystyle I=E\,du^{2}+2F\,du\,dv+G\,dv^{2}.\,} および第二基本形式 I I = L d u 2 + 2 M d u d v + N d v 2 . {\displaystyle II=L\,du^{2}+2M\,du\,dv+N\,dv^{2}.\,} を用いると、その行列式によってガウス曲率次のように表される。 K = det I I det I = L N − M 2 E GF 2 . {\displaystyle K={\frac {\det II}{\det I}}={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}}.} 曲面第一基本形式はその曲面伸び縮み具合、即ち内在的性質計量に関する性質)を表すものであり、第二基本形式凸凹具合などの曲面空間へ入り方埋め込み方)、即ち外在的性質を表すものである。この式には第二基本形式 I I {\displaystyle II} が含まれているが、「驚異の定理」の主張するところは、これが第一基本形式 I {\displaystyle I} のみで表すことが出来るというものであるブリオスキの公式(英語版)によると、 K = det | − 1 2 E v v + F u v1 2 G u u 1 2 E u F u1 2 E v F v − 1 2 G u E F 1 2 G v F G | − det | 0 1 2 E v 1 2 G u 1 2 E v E F 1 2 G u F G | ( E GF 2 ) 2 {\displaystyle K={\frac {\det {\begin{vmatrix}-{\frac {1}{2}}E_{vv}+F_{uv}-{\frac {1}{2}}G_{uu}&{\frac {1}{2}}E_{u}&F_{u}-{\frac {1}{2}}E_{v}\\F_{v}-{\frac {1}{2}}G_{u}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{v}&F&G\end{vmatrix}}-\det {\begin{vmatrix}0&{\frac {1}{2}}E_{v}&{\frac {1}{2}}G_{u}\\{\frac {1}{2}}E_{v}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{u}&F&G\end{vmatrix}}}{(EG-F^{2})^{2}}}} となり、確かに第一基本量 E , F , G {\displaystyle E,F,G} とその微分だけでガウス曲率求まることが分かる

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定式化

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環上の射影直線」の記事における「定式化」の解説

単位元 1 を持つ単位的環 A が与えられたとき、A 上の射影直線 P(A)斉次座標系英語版)によって特定される点からなる。A の単元群を U とし、A × A において関係 ∼ を (a,b) ∼ (c,d) ⇔ ua = cub = d (∃u ∈ U) と定めると、∼ は同値関係である。この同値類典型的には U(a, b) と書く。このとき、P(A) は P(A) = {U(a,b) | a と b互いに素} と定義される。ここに、a, b が「互いに素」とは a, b の生成するイデアルが A 全体になる (aA + bA = A) ことを言う。 射影直線 P(A) は、射影変換群 (homography group) を作用域に持つ。この各射影変換は A 上の行列環とその単元群 GL2(A) によって表される。すなわち、A の単元群 U の中心 Z(U)属すスカラー対応するスカラー行列全体Z2(U) とすればZ2(U) の P(A) への作用自明であり、Z2(U)GL2(A)正規部分群で、P(A) 上の射影変換群剰余群 PGL2(A) = GL2(A)/Z2(U)同型である。 埋め込み a ↦ U(a, 1) によって P(A) は A のコピーを含むから、射影直線 P(A) を環 A の拡張看做すことができる。反転写像 u ↦ 1/u(通常は A の単元群 U に制限される)は P(A) 上の射影変換 U ( a , 1 ) ( 0 1 1 0 ) = U ( 1 , a ) ∼ U ( a − 1 , 1 ) . {\displaystyle U(a,1){\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}=U(1,a)\thicksim U(a^{-1},1).} で表される。さらに言えば、u,v ∈ U ( v 0 0 1 ) ( 0 1 1 0 ) ( u 0 0 1 ) ( 0 1 1 0 ) = ( v 0 0 u ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}v&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v&0\\0&u\end{pmatrix}}} と書けるから、 U ( a , 1 ) ( v 0 0 u ) = U ( a v , u ) ∼ U ( u − 1 a v , 1 ) {\displaystyle U(a,1){\begin{pmatrix}v&0\\0&u\end{pmatrix}}=U(av,u)\thicksim U(u^{-1}av,1)} であり、特に A 上の内部自己同型は P(A) まで拡張できる。u は任意だから、u−1 で置き換えれば、写像 a ↦ uav射影変換拡張できる一般に、 U ( z , 1 ) ( a c b d ) = U ( z a + b , z c + d ) ∼ U ( ( z c + d ) − 1 ( z a + b ) , 1 ) . {\displaystyle U(z,1){\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=U(za+b,zc+d)\thicksim U((zc+d)^{-1}(za+b),1).} が成り立つので、P(A) 上の射影変換一次分数変換 (linear-fractional transformation) と呼ばれる

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定式化

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高木の存在定理」の記事における「定式化」の解説

モジュラスとは(または射因子(ray divisor)とも言う)、正の整数指数をもつ K の付値また、素点(place)、素因子(prime)とも言う)の形式的有限積のことを言う。モジュラス中に現れるアルキメデス的な付値無限素点ともいう)は、完備化複素数ではなく実数なるもののみを含む。そのような無限素点は K の順序対応しモジュラスにおいては必ず指数 1 である。 モジュラス m は、非アルキメデス的(有限付値部分 mfアルキメデス的(無限)付値部分 m∞ の積である。有限部分 mf は K の整数環 OKゼロでないイデアル対応し、無限部分 m∞ は K の実埋め込みいくつかの集合対応するモジュラス m にたいして次の二つの群 Im および Pm次のように定める。Im は m と互いに素全ての分数イデアルの群である( mf現れる全ての素イデアルを含ふくまないという条件で、ここには無限部分に対する条件課さない)。PmImのうちで主分数イデアル (u/v) であって次の条件をみたすもののな部分群である。ここで u と v 、 m∞ の各々の整環の中で mf互いに素であり、u ≡ v mod mf であり、m∞に属す全ての順序に対し u/v > 0 であるようOKゼロでない元である。 (Pm の定義としてはある生成元あたえられ条件をみたせばよい、ということ注意する例えば、K を有理数体として m=4 とする。イデアル (3) は 3/1 を生成元としてとるとこれは 3 と 1 は mod 4等しくないので条件はみたさないが、-3/1 をその生成元としてとれば -3 と 1 mod 4等しく、これは条件をみたす。したがっイデアル (3)P4属する。一方で -3/1<0 であるため(3)P4∞ には属さない。) ImPm間にある任意のH に対し、商 Im/H を一般化されイデアル類群と呼ぶ存在定理によれば K のアーベル拡大上で定義した一般化されイデアル類群一対一対応し、その拡大ガロア群となる。一般化されイデアル類群有限群であるという事実は、通常のイデアル類群有限であるという証明と同様に、あらかじめそれらが有限次拡大ガロア群である事を示すことによって証明できる

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定式化

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量子電磁力学」の記事における「定式化」の解説

数学的には、量子電磁力学(以下、QED表記)はU(1)対称性を持つ可換ゲージ理論である。電荷を持つ物質同士相互作用媒介するゲージ場電磁場である。 電磁場 A と相互作用する物質場 ψ についてのQED作用積分は以下のように表されるS Q E D [ ψ , A ] = ∫ d 4 x L m a t t e r ( ψ , D ψ ) + ∫ d 4 x L A ( ∂ A ) {\displaystyle S_{\mathrm {QED} }[\psi ,A]=\int d^{4}x\,{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }(\psi ,{\mathcal {D}}\psi )+\int d^{4}x\,{\mathcal {L}}_{A}(\partial A)} ここで、 L m a t t e r {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }} は物質場のラグランジアン密度であり、微分は D ψ {\displaystyle {\mathcal {D}}\psi } は共変微分 D μ ψ j ( x ) = ∂ μ ψ j ( x )i e A μ ( x ) Q j ψ j ( x ) {\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }\psi _{j}(x)=\partial _{\mu }\psi _{j}(x)-ieA_{\mu }(x)Q_{j}\psi _{j}(x)} に置き換えられる。e は電磁相互作用結合定数素電荷である。Qj物質 ψj の U(1) チャージである。 L A ( ∂ A ) {\displaystyle {\mathcal {L}}_{A}(\partial A)} は電磁場運動項であり、 L A ( ∂ A ) = − 1 4 F μ ν F μ ν {\displaystyle {\mathcal {L}}_{A}(\partial A)=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }} である。 F μ ν = ∂ μ A ν − ∂ ν A μ {\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }} は電磁場テンソルである。

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スターク予想」の記事における「定式化」の解説

スターク予想の最も一般的な形式は、「アルティンのL-函数の主要項は、スターク単数基準呼ばれる代数的数表され単数基準の積で表される」という予想である。体の拡大アーベル的でL-函数s = 0 における位数が 1 のとき、精密化されたスターク予想は、根が基礎体 k のアーベル拡大となる K のクンマー拡大生成するスタークユニットの存在予想する(K がアーベル拡大ない場合は、クンマー理論拡大する)。このスターク予想精密化には、ヒルベルトの第12問題を解くという理論的な意味があるまた、特別な場合にはスタークユニットの計算可能であるため、精密化されたスターク予想信憑性評価可能であるほか、代数体アーベル拡大生成する重要な計算機方法得られる実際代数体アーベル拡大計算する標準的なアルゴリズムには、拡大生成するスタークユニットの生成操作を含むものがある後述)。

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ラグランジュ力学」の記事における「定式化」の解説

ラグランジュ形式において、力学系運動状態を指定する力学変数一般化座標 q ( t ) = ( q 1 ( t ) , … ) {\displaystyle q(t)=(q_{1}(t),\ldots )} である。力学系性質一般化座標とその微分一般化速度)、および時間変数とする関数 L ( q ( t ) , q ˙ ( t ) , t ) {\displaystyle L(q(t),{\dot {q}}(t),t)} によって記述される。この力学系性質記述する関数 L はラグランジュ関数ラグランジアン)と呼ばれるラグランジュ形式において、作用汎関数ラグランジュ関数時間積分 S [ q ] = ∫ t I t F L ( q ( t ) , q ˙ ( t ) , t ) d t {\displaystyle S[q]=\int _{t_{\text{I}}}^{t_{\text{F}}}L(q(t),{\dot {q}}(t),t)\,dt} として与えられる一般化座標実際には起こらない運動の値も取りうるが、そこから実際の運動を導く方法最小作用の原理である。すなわち、作用汎関数最小となる運動実際に起こ運動である。 作用停留条件から、ラグランジュの運動方程式オイラー=ラグランジュ方程式) δ S [ q ] δ q i ( t ) = ∂ L ∂ q id d t ∂ L ∂ q ˙ i = 0 {\displaystyle {\frac {\delta S[q]}{\delta q_{i}(t)}}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=0} が得られる。これはニュートンの運動方程式同等である

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ホルム=ボンフェローニ法」の記事における「定式化」の解説

本手法は以下の通りである。 小さい順 P 1 , … , P m {\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{m}} に並べられた m {\displaystyle m} 個のp値とそれらに対応する仮説 H 1 , … , H m {\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{m}} を持っていることを考える。ファミリーワイズエラー率事前に設定した特定の有意水準 α {\displaystyle \alpha } 以下にしたい。 P 1 < α / m {\displaystyle P_{1}<\alpha /m} であるならば、 H 1 {\displaystyle H_{1}} を棄却し、次の段階に進む。さもなければここで検定止めるP 2 < α / ( m − 1 ) {\displaystyle P_{2}<\alpha /(m-1)} であるならば、 H 2 {\displaystyle H_{2}} も棄却し、次の段階に進む。さもなければここで検定止める。 これを繰り返す。それぞれのP値について、 P k < α m + 1 − k {\displaystyle P_{k}<{\frac {\alpha }{m+1-k}}} かどうか検定し、条件満たせH k {\displaystyle H_{k}} を棄却し、次のより大きなP値について調べる。さもなければここで検定止めるこの手法はファミリーワイズエラー率が ≤ α {\displaystyle \leq \alpha } であることを保証する

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マルコフの不等式」の記事における「定式化」の解説

マルコフの不等式は、測度論的には、(X,Σ,μ) を測度空間とし、f を拡張実数値(無限大もとりうる)可測関数とし、 t > 0 とすれば、 μ ( { x ∈ X | | f ( x ) | ≥ t } ) ≤ 1 t ∫ X | f | d μ {\displaystyle \mu (\{x\in X|\,|f(x)|\geq t\})\leq {1 \over t}\int _{X}|f|\,d\mu } であることを述べる。空間測度が 1 である特別な場合(つまり確率空間である)には、次のように言い換えられる: X を任意の確率変数とし、a > 0 とすると、 Pr ( | X | ≥ a ) ≤ E ( | X | ) a {\displaystyle {\textrm {Pr}}(|X|\geq a)\leq {\frac {{\textrm {E}}(|X|)}{a}}}

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/04/15 06:57 UTC 版)

ネルンストの定理」の記事における「定式化」の解説

熱力学においてエントロピー S {\displaystyle S} は状態量のひとつであり、物質温度 T {\displaystyle T} その他の状態量関数みなされる。ただし熱力学枠内では(本定理あるいは熱力学第三法則除くとエントロピーはその値の差分だけに意味があり、任意の定数加えて再定義することができるネルンストの定理絶対零度 T = 0 {\displaystyle T=0} においてエントロピー S {\displaystyle S} はゼロであることを主張する。 S ( T = 0 ) = 0 {\displaystyle S(T=0)=0} すなわち、後述のように熱力学枠内でネルンストの定理エントロピー原点 S = 0 {\displaystyle S=0} を定めるものとみなされる統計力学立場では、エントロピー可能な状態数 W {\displaystyle W} の対数ボルツマンの原理S = k B ln ⁡ W {\displaystyle S=k_{\mathrm {B} }\ln W} ( k B {\displaystyle k_{\mathrm {B} }} はボルツマン定数)であり、絶対零度では物質基底状態という特定のひとつの状態を取る結果として S = 0 {\displaystyle S=0} となる。ただしこれは基底状態一意である完全結晶などについてのみ成立し基底状態縮退して存在する不完全結晶などの場合には絶対零度でもゼロでないエントロピー残留エントロピー英語版), 英: residual entropy)が存在するこの場合ネルンストの定理lim N → ∞ S ( T = 0 ) N = 0 {\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {S(T=0)}{N}}=0} を意味するまた、ネルンストの定理量子統計力学基づくものであり、本質的に古典的な系については必ずしも適用できない

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定式化

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/06/11 15:22 UTC 版)

量子色力学」の記事における「定式化」の解説

量子色力学(以下、QCD表記)はゲージ群 SU(3)基づヤン=ミルズ理論である。カラー SU(3)電荷を持つディラック場クォーク同士相互作用媒介するゲージ場グルーオンである。 グルーオン相互作用するディラック場についてのQCDラグランジアン密度は以下のように記述される。 L QCD = ∑ ψ ( i ψ ¯ j γ μ ( D μ ψ ) j − m ψ ψ ¯ j ψ j ) − 1 4 G μ ν a G a μ ν {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{QCD}}=\sum _{\psi }\left(i{\bar {\psi }}^{j}\gamma ^{\mu }({\mathcal {D}}_{\mu }\psi )_{j}-m_{\psi }{\bar {\psi }}^{j}\psi _{j}\right)-{\frac {1}{4}}G_{\mu \nu }^{a}G^{a\mu \nu }} ここで、ディラック場 ψ j {\displaystyle \psi _{j}} はカラー添え字 i = 1 , 2 , 3 {\displaystyle i=1,2,3} を持ち、その共変微分は ( D μ ψ ) j = ∂ μ ψ j − i g s G μ a [ T a ] j k ψ k {\displaystyle ({\mathcal {D}}_{\mu }\psi )_{j}=\partial _{\mu }\psi _{j}-ig_{s}G_{\mu }^{a}[T^{a}]_{j}{}^{k}\psi _{k}} である。gs強い相互作用ゲージ結合定数で、Taa=1,...,8) は SU(3)生成子である。 G μ a {\displaystyle G_{\mu }^{a}} はSU(3)c のゲージ場、即ちグルーオンである。ゲージ場強度は G μ ν a = ∂ μ G ν a − ∂ ν G μ a + g s f a b c G μ b G ν c {\displaystyle G_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }G_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }G_{\mu }^{a}+g_{s}f^{abc}G_{\mu }^{b}G_{\nu }^{c}} となる。ここで fabc は SU(3)構造定数である。 ラグランジアンに L QCD ′ = L QCD + g s 2 θ 16 π 2 G μ ν a G ~ a μ ν {\displaystyle {\mathcal {L}}'_{\text{QCD}}={\mathcal {L}}_{\text{QCD}}+{\frac {g_{s}^{2}\theta }{16\pi ^{2}}}G_{\mu \nu }^{a}{\tilde {G}}^{a\mu \nu }} という変換施して運動方程式変化しない。ここで G ~ a μ ν = ϵ μ ν ρ σ G ρ σ a {\displaystyle {\tilde {G}}^{a\mu \nu }=\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }G_{\rho \sigma }^{a}} である。

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定式化

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/07/17 21:34 UTC 版)

不変面」の記事における「定式化」の解説

ニュートン力学の下では、質点が N {\displaystyle N} 個の質点系における全角運動量ベクトルは、 L → t o t = ∑ j = 1 N m j r → j × r → ˙ j {\displaystyle {\vec {L}}_{tot}=\sum _{j=1}^{N}m_{j}{\vec {r}}_{j}\times {\dot {\vec {r}}}_{j}} と表される。ここで、 m j {\displaystyle m_{j}} 、 r → j {\displaystyle {\vec {r}}_{j}} 、 r → ˙ j {\displaystyle {\dot {\vec {r}}}_{j}} はそれぞれj番目の質点の、質量系の重心原点とした位置ベクトル系の重心原点とした速度ベクトル、を表す。これに、相対論的効果加味すると、質量m j {\displaystyle m_{j}} は、 m j ∗ = m j ⋅ [ 1 + r → ˙ j 2 2 c 21 2 c 2 ( ∑ k ≠ j G m k | r → k − r → j | ) ] {\displaystyle m_{j}^{*}=m_{j}\cdot \left[1+{\frac {{\dot {\vec {r}}}_{j}^{2}}{2c^{2}}}-{\frac {1}{2c^{2}}}\left(\sum _{k\neq j}{\frac {Gm_{k}}{|{\vec {r}}_{k}-{\vec {r}}_{j}|}}\right)\right]} で置き換えられる。ここで、 c {\displaystyle c} は真空中の光速、 G {\displaystyle G} は重力定数である。

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定式化

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/10/16 05:06 UTC 版)

メルセンヌの法則」の記事における「定式化」の解説

弦の基本周波数 f0 は以下の特徴を持つ。 a) 弦の長さ L に反比例するピタゴラス法則f 0 ∝ 1 L {\displaystyle f_{0}\propto {\frac {1}{L}}} (式26) b) 張力 F の平方根比例する f 0 ∝ F {\displaystyle f_{0}\propto {\sqrt {F}}} (式27) c) 弦の単位長さ当たりの質量 μ の平方根反比例する f 0 ∝ 1 μ {\displaystyle f_{0}\propto {\frac {1}{\sqrt {\mu }}}} (式28) したがってたとえば、弦の性質がほかの点で変化しないとすれば、音を1オクターブ高くする振動数2倍)には、長さをその係数で割る (1/2倍) か、張力係数自乗をかける (4倍) か、単位長さあたりの質量係数自乗で割る (1/4倍) といい。 オクターブ長さ張力質量11 1 1 21/2 = 0.5 2² = 4 1/2² = 0.25 31/3 = 0.33 3² = 9 1/3² = 0.11 41/4 = 0.25 = 16 1/4² = 0.0625 81/8 = 0.125 = 64 1/8² = 0.015625 これらの法則メルセンヌ論文の式22 f 0 = ν λ = 1 2 L F μ {\displaystyle f_{0}={\frac {\nu }{\lambda }}={\frac {1}{2L}}{\sqrt {\frac {F}{\mu }}}} から導かれる。ここで ν は速度、λ は波長である。 笛や管楽器に対しては、同時期同じような法則発展しなかった。メルセンヌの法則発展したのは、管楽器音高が「振動ではなく縦波によって決まるという考え方確立するより早かっためである

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/08/14 10:52 UTC 版)

ABC予想」の記事における「定式化」の解説

自然数 n に対して、n の互いに異な素因数の積を n の根基 (radical) と呼びrad n と書く。以下に例を挙げる。 p が素数ならば、rad(p) = p. rad(8) = rad(23) = 2. rad(45) = rad(32 ⋅ 5) = 3 ⋅ 5 = 15. 自然数の組 (a, b, c) で、a + b = c, a < b で、a と b互いに素あるものを abc-triple と呼ぶ大抵の場合は c < rad(abc) が成り立つが、ABC予想が主張するのはこれが成り立たない例(例えば、a = 1, b=8 のとき c=9 であり、rad(abc) = 6 である)の方である。ただし、c> rad(abc) が成り立つ例も無限に存在するため、rad(abc) を少しだけ大きくすることで例を有限個にできないかどうかを考える。すなわち、ABC予想任意の ε > 0 に対して、次を満たすような自然数の組 (a, b, c) は高々有限個しか存在しないであろう述べている: c > rad ⁡ ( a b c ) 1 + ε . {\displaystyle c>\operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }.} これと同値他の定式化(Oesterlé–MasserABC予想)として次のものがある。すなわち、任意の ε > 0 に対してある K(ε) > 0 が存在し全ての abc-triple (a, b, c) について次が成り立つという: c < K ( ε ) ⋅ rad ⁡ ( a b c ) 1 + ε {\displaystyle c 0 に対して、abc-triple (a, b, c) であって q(a, b, c) > 1 + ε を満たすものは高々有限個しか存在しないということ主張している。 現在、q(a, b, c) > 1.6 を満たす abc-triple は後述の通り3組しか知られていない。q(a, b, c) を 2 まで大きくすれば、そうした abc-triple は存在しないという予想もある。すなわち「全ての abc-triple (a, b, c) に対して、c < rad(abc)2 を満たすであろう」という主張だが、こちらも肯定否定されていない

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定式化

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2020/11/01 04:45 UTC 版)

メトロポリス・ヘイスティングス法」の記事における「定式化」の解説

M-H アルゴリズム目標確率分布 P ( x ) {\displaystyle P(x)} に従ったサンプル生成を行うことが目的である。これを達成するために、漸近的に唯一の定常分布π(x)収束するマルコフ連鎖用いる。 ここでは簡単のため、離散状態空間考えることにする。マルコフ連鎖は、2つの状態間の遷移確率 P ( x ′ | x ) {\displaystyle P(x'|x)} によって一意定義される次の2つ条件満たされるとき、マルコフ連鎖定常分布収束する。このとき、マルコフ連鎖はエルゴード性をもつという。 定常分布存在定常である確率分布 π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} が存在しなければならない一つ十分条件として、詳細釣り合い条件がある。詳細釣り合い条件とは、状態 x {\displaystyle x} が π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} からの乱数であるとき、状態 x {\displaystyle x} から状態 x ′ {\displaystyle x'} への遷移確率が状態 x ′ {\displaystyle x'} から状態 x {\displaystyle x} への遷移確率と等しいこと、つまり、 π ( x ) P ( x ′ | x ) = π ( x ′ ) P ( x | x ′ ) {\displaystyle \pi (x)P(x'|x)=\pi (x')P(x|x')} となることである。 定常分布一意性: 定常分布 π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} は一意でなければならない十分条件一つは、 P ( x ′ | x ) {\displaystyle P(x'|x)} がすべての x , x ′ {\displaystyle x,x'} について正になることである。 M-H アルゴリズム遷移確率構成により、上記の2つ条件を満たすようにマルコフ過程設計することができる。 詳細釣り合い条件確認しよう。 π ( x ) = P ( x ) {\displaystyle \pi (x)=P(x)} として P ( x ) P ( x ′ | x ) = P ( x ′ ) P ( x | x ′ ) {\displaystyle P(x)P(x'|x)=P(x')P(x|x')} が成り立必要がある。これは、以下のように書き換えられる。 P ( x ′ | x ) P ( x | x ′ ) = P ( x ′ ) P ( x ) {\displaystyle {\frac {P(x'|x)}{P(x|x')}}={\frac {P(x')}{P(x)}}} . 通常の手法として遷移確率提案確率分布採択確率分布分解する提案分布 Q ( x ′ | x ) {\displaystyle \displaystyle Q(x'|x)} は x {\displaystyle x} が与えられたときの状態 x ′ {\displaystyle x'} を提案する条件付き確率であり、採択確率 A ( x ′ , x ) {\displaystyle \displaystyle A(x',x)} は x {\displaystyle x} が与えられたときの状態 x ′ {\displaystyle x'} を採択する条件付き確率である。 P ( x ′ | x ) = Q ( x ′ | x ) A ( x ′ , x ) {\displaystyle P(x'|x)=Q(x'|x)A(x',x)} この関係を以前の式に代入して以下の式を得る。 A ( x ′ , x ) A ( x , x ′ ) = P ( x ′ ) P ( x ) Q ( x | x ′ ) Q ( x ′ | x ) {\displaystyle {\frac {A(x',x)}{A(x,x')}}={\frac {P(x')}{P(x)}}{\frac {Q(x|x')}{Q(x'|x)}}} . 次のステップとして、この式を満たす採択率を選ぶことが必要であるよくある選択として、メトロポリス選択知られ下の式で得られる。この値はアルゴリズムの実装必要な値である。 A ( x ′ , x ) = min ( 1 , P ( x ′ ) P ( x ) Q ( x | x ′ ) Q ( x ′ | x ) ) {\displaystyle A(x',x)=\min \left(1,{\frac {P(x')}{P(x)}}{\frac {Q(x|x')}{Q(x'|x)}}\right)} この式が前の式を満たすことは、 A ( x ′ , x ) {\displaystyle A(x',x)} / A ( x , x ′ ) {\displaystyle A(x,x')} か A ( x , x ′ ) {\displaystyle A(x,x')} / A ( x ′ , x ) {\displaystyle A(x',x)} の少なくとも片方1以上になることから確認できるまた、これは A ( x ′ , x ) {\displaystyle A(x',x)} と A ( x , x ′ ) {\displaystyle A(x,x')} を一般性を失うことなく入れ替えることができるからである実装観点からMetropolisHastings アルゴリズムは以下のステップか成り立っている。 初期化ランダムに x {\displaystyle x} を設定する Q ( x ′ | x ) {\displaystyle \displaystyle Q(x'|x)} に従い x ′ {\displaystyle x'} を生成する A ( x ′ , x ) {\displaystyle \displaystyle A(x',x)} に従い採択し x ′ {\displaystyle x'} に遷移する採択されない場合は、 x ′ = x {\displaystyle x'=x} となり値を更新しない。 T {\displaystyle T} 回以下であれば2に戻る 値を保存する。2に戻る。 サンプル適切に集めるためには、 T {\displaystyle T} は提案分布採択率とが別に決められステップ4においてサンプル相関していないことが必要であるマルコフ過程自己相関時間時間オーダーよる。 一般的にこのパラメータ決定簡単ではないことは重要な点である。問題に対して適切にパラメータ決定されるべきである。分布に関する知識全くない場合には一様分布提案分布として選ばれることもある。この場合、状態 x {\displaystyle x} と状態 x ′ {\displaystyle x'} はいつも相関しいために T {\displaystyle T} の値は 1 {\displaystyle 1} に設定される

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定式化

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2015/05/04 13:24 UTC 版)

ハーン-バナッハの定理」の記事における「定式化」の解説

定理の最も一般な定式化においてはいくつかの準備必要とされる実数体 R 上のベクトル空間 V に対し関数 ƒ : V → R が劣線形英語版)であるとは、 任意の および x ∈ V に対して成立する(正同次性) 任意の x, y ∈ V に対して成立する劣加法性) が成立することを言う。 V 上のすべての半ノルム(特に、V 上のすべてのノルム)は劣線形である。他の線形関数、特に凸集合ミンコフスキー汎関数なども同様に有用なものとなりうる。 ハーン-バナッハの定理次のようなものである: が劣線形関数で、φ: U → R が線形部分空間 U ⊆ V 上の線形汎関数であり、U 上では φ は によって支配されるようなもの、すなわち (Rudin 1991, Th. 3.2) ハーン-バナッハの定理の別形態次のようなものである: V を係数体 K (実数 R あるいは複素数 C)上のベクトル空間とし、 を半ノルムとし、φ: U → K を V の K-線形部分空間 U 上の K-線形汎関数とし、U 上ではその絶対値が によって支配されるもの、すなわち この定理複素数の場合において C-線形性を仮定として要求するということは実数の場合での仮定に、すべてのベクトル x ∈ U に対してベクトル i x も U に属し、φ(i x) = i φ(x)成立するという仮定加えて要求するということである。 一般には、拡張 ψ は φ によって一意定まるものではなくまた、定理の証明見ても ψ を見つけ明示的な方法は分からない無限次元空間 V の場合には、選択公理一形態であるツォルンの補題が、証明必要とされる。 (Reed & Simon 1980)によればに対する線形性条件は、条件 に、少し弱めることが出来る。この条件は、ハーン-バナッハの定理凸性間の深い関係明らかにするものである。 Mizarプロジェクトは、ハーン-バナッハの定理完全な定式化と自動検証され証明をHAHNBAN file有している。

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定式化

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/08/01 09:29 UTC 版)

ススリンの問題」の記事における「定式化」の解説

空でない全順序集合Rで、以下の4条件を満たすものが与えられたとする。 Rは最小元も最大元も持たない。 R上のその順序稠密である。(任意の異なる2元の間に第3の元が必ず存在する。) R上のその順序完備である。すなわち、任意の空でない有界集合上限下限を持つ。 R上の互いに交わらない空でない開区間の族は、その濃度高々可算となる。(すなわち、Rは 可算鎖条件 : c.c.c. を満たす) このとき、Rは必ず実数直線Rと順序位相同型となるか? もし、Rが可算鎖条件満たすための必要条件が、Rが可算稠密部分集合を持つ(すなわち、Rが可分空間である)ことに置き換えられるなら、この問い答えはyesでこのようなRは実数直線Rに順序位相同型となる。

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定式化

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2020/02/29 18:13 UTC 版)

デデキントの補題」の記事における「定式化」の解説

Kurt Meybergドイツ語版) による定式化は以下の通りである。 (乗法的書かれた)半群 H ≠ ∅ {\displaystyle H\neq \emptyset } と可換体 K {\displaystyle K} 、および H {\displaystyle H} から K ∗ {\displaystyle K^{*}} ( K {\displaystyle K} の単元群)への準同型 σ 1 , … , σ n ( n ∈ N ) {\displaystyle {\sigma }_{1},\ldots ,{\sigma }_{n}\;\;(n\in \mathbb {N} )} が与えられたとき、以下は同値。 (A1) σ 1 , … , σ n {\displaystyle {\sigma }_{1},\ldots ,{\sigma }_{n}} は相異なる。 (A2) H {\displaystyle H} から K {\displaystyle K} への写像全体を K {\displaystyle K} 上のベクトル空間とみなして A b b ( H , K ) {\displaystyle \mathrm {Abb} (H,K)} と書くと、 σ 1 , … , σ n {\displaystyle {\sigma }_{1},\ldots ,{\sigma }_{n}} は A b b ( H , K ) {\displaystyle \mathrm {Abb} (H,K)} の元として線型独立である。

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定式化

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2020/01/25 03:10 UTC 版)

広義積分」の記事における「定式化」の解説

厳密に言えば広義積分とは積分一種ではなく、以下のような形の式の総称である。まず lim b → c ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \lim _{b\to c}\int _{a}^{b}f(x)\,dx} ここで c は正または負の無限大であるか、x → c -0につれて|f (x)|が無限大となるような定数である。または lim b → a ∫ b c f ( x ) d x {\displaystyle \lim _{b\to a}\int _{b}^{c}f(x)\,dx} ここで a は正または負の無限大であるか、x → a +0 につれて|f (x)|が無限大となるような定数である。あるいは以下のような形もある。 lim s → a ∫ s b f ( x ) d x + lim t → c ∫ b t f ( x ) d x {\displaystyle \lim _{s\to a}\int _{s}^{b}f(x)\,dx+\lim _{t\to c}\int _{b}^{t}f(x)\,dx} a および c は正または負の無限大であるか、x が積分区間内側か近づくにつれて|f (x)|が無限大となるような定数である。この値は(存在する限り)b の取り方によらない。 こうして、この分野における基本的な問がどんなものか分かる極限は(解析学的な意味で)存在するか? 存在するとして、その値を計算できるか? 2つ目の問には微積分計算のテクニック使えるが、場合により周回積分フーリエ変換等の高度な技法必要なこともある。

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定式化

出典:『Wiktionary』 (2021/10/10 00:08 UTC 版)

名詞

定式 (ていしきか)

  1. 様式方式一つ定まること。
  2. 論理一貫するような厳密言葉遣い表現すること。
  3. 語義2の内、とくに)記号数式表現すること。

動詞

定式する (ていしきかする)

  1. (他動詞) 何かの様式方式一つ定める
  2. (他動詞) 論理一貫するような厳密言葉遣い表現する。
  3. (他動詞)語義2の内、とくに)記号数式表現する

活用


「定式化」の例文・使い方・用例・文例

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