テイラー展開
関数をある点のまわりでべき級数に展開する手法。差分法では演算子はテイラー展開を基につくられ、ベき級数をどこまでとるかで精度が決まる。しかし、べき級数のとり方と精度の関係は複雑で、何次までとるとどういう特性になるかを前もって把握しておく必要がある。
テイラー展開
テイラー展開
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/07/25 00:38 UTC 版)
「二値エントロピー関数」の記事における「テイラー展開」の解説
二値エントロピー関数の1/2まわりでのテイラー展開は次のように与えられる。 H b ( p ) = 1 − 1 2 ln 2 ∑ n = 1 ∞ ( 1 − 2 p ) 2 n n ( 2 n − 1 ) {\displaystyle \operatorname {H} _{\text{b}}(p)=1-{\frac {1}{2\ln 2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(1-2p)^{2n}}{n(2n-1)}}} これは 0 ≤ p ≤ 1 {\displaystyle 0\leq p\leq 1} で成り立つ。
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テイラー展開
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/10/29 02:48 UTC 版)
テイラーの定理とバーンズのG関数の対数微分により以下の級数展開が分かる。 log G ( 1 + z ) = z 2 log 2 π − ( z + ( 1 + γ ) z 2 2 ) + ∑ k = 2 ∞ ( − 1 ) k ζ ( k ) k + 1 z k + 1 . {\displaystyle \log G(1+z)={\frac {z}{2}}\log 2\pi -\left({\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right)+\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}.} これは 0 < z < 1 {\displaystyle \,0<z<1\,} において有効であり、ここで ζ ( x ) {\displaystyle \,\zeta (x)\,} はリーマンゼータ関数 ζ ( x ) = ∑ k = 1 ∞ 1 k x {\displaystyle \zeta (x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{x}}}} である。級数の両辺を指数関数に代入すると、 G ( 1 + z ) = exp [ z 2 log 2 π − ( z + ( 1 + γ ) z 2 2 ) + ∑ k = 2 ∞ ( − 1 ) k ζ ( k ) k + 1 z k + 1 ] = ( 2 π ) z / 2 exp [ − z + ( 1 + γ ) z 2 2 ] exp [ ∑ k = 2 ∞ ( − 1 ) k ζ ( k ) k + 1 z k + 1 ] {\displaystyle {\begin{aligned}G(1+z)&=\exp \left[{\frac {z}{2}}\log 2\pi -\left({\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right)+\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right]\\&=(2\pi )^{z/2}\exp \left[-{\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right]\exp \left[\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right]\end{aligned}}} となる。ここからワイエルシュトラスの乗積表示の形との比較に関し以下が得られる。 exp [ ∑ k = 2 ∞ ( − 1 ) k ζ ( k ) k + 1 z k + 1 ] = ∏ k = 1 ∞ { ( 1 + z k ) k exp ( z 2 2 k − z ) } . {\displaystyle \exp \left[\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right]=\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{k}{\text{exp}}\left({\frac {z^{2}}{2k}}-z\right)\right\}.}
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テイラー展開
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/22 16:46 UTC 版)
テイラー展開を用いる。 関数f (x ) のx = a の近傍における近似値を考える。f (x )をx = a においてテイラー展開すれば f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}} となる。x -a の値が十分小さければ、高次の項は無視することができる。とくに2次以上を無視すれば f ( x ) ≃ f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) {\displaystyle f(x)\simeq f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)} となる。また、n 次の項まで考えたものをn 次近似と呼ぶ。すなわち上の例は1次近似である。 具体例 主要な関数の x ≃ 0 {\displaystyle x\simeq 0} における2次近似を挙げておく。 e x ≃ 1 + x + x 2 2 {\displaystyle e^{x}\simeq 1+x+{\frac {x^{2}}{2}}} ln ( 1 + x ) ≃ x − x 2 2 {\displaystyle \ln(1+x)\simeq x-{\frac {x^{2}}{2}}} ( 1 + x ) n ≃ 1 + n x + n ( n − 1 ) 2 x 2 {\displaystyle (1+x)^{n}\simeq 1+nx+{\frac {n(n-1)}{2}}x^{2}} sin x ≃ x {\displaystyle \sin x\simeq x} cos x ≃ 1 − x 2 2 {\displaystyle \cos x\simeq 1-{\frac {x^{2}}{2}}}
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テイラー展開
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/14 15:01 UTC 版)
「フルヴィッツのゼータ函数」の記事における「テイラー展開」の解説
フルヴィッツのゼータ函数の第二引数での微分は、シフト (shift) と見ることができる。 ∂ ∂ q ζ ( s , q ) = − s ζ ( s + 1 , q ) . {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q}}\zeta (s,q)=-s\zeta (s+1,q).} 従って、テイラー級数は次のように表せる。 ζ ( s , x + y ) = ∑ k = 0 ∞ y k k ! ∂ k ∂ x k ζ ( s , x ) = ∑ k = 0 ∞ ( s + k − 1 s − 1 ) ( − y ) k ζ ( s + k , x ) . {\displaystyle \zeta (s,x+y)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}{\frac {\partial ^{k}}{\partial x^{k}}}\zeta (s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose s-1}(-y)^{k}\zeta (s+k,x).} この代わりに | q | < 1 {\displaystyle |q|<1} に対し、 ζ ( s , q ) = 1 q s + ∑ n = 0 ∞ ( − q ) n ( s + n − 1 n ) ζ ( s + n ) {\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{q^{s}}}+\sum _{n=0}^{\infty }(-q)^{n}{s+n-1 \choose n}\zeta (s+n)} が成立する。 スターク・ケイパーの公式 (Stark–Keiper formula) ζ ( s , N ) = ∑ k = 0 ∞ [ N + s − 1 k + 1 ] ( s + k − 1 s − 1 ) ( − 1 ) k ζ ( s + k , N ) {\displaystyle \zeta (s,N)=\sum _{k=0}^{\infty }\left[N+{\frac {s-1}{k+1}}\right]{s+k-1 \choose s-1}(-1)^{k}\zeta (s+k,N)} は、これと密接に関連していて、整数 N と任意の s に対して成り立つ。整数のべきの有限和についての同様な関係式については、ファウルハーバーの公式を参照。
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