テイラー展開
関数をある点のまわりでべき級数に展開する手法。差分法では演算子はテイラー展開を基につくられ、ベき級数をどこまでとるかで精度が決まる。しかし、べき級数のとり方と精度の関係は複雑で、何次までとるとどういう特性になるかを前もって把握しておく必要がある。
テイラー展開
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/05/14 22:34 UTC 版)
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数学においてテイラー級数（テイラーきゅうすう、英: Taylor series）は、関数のある一点での導関数の値から計算される項の無限和として関数を表したものである。そのような級数を得ることをテイラー展開（テイラーてんかい）という。
テイラー級数の概念はスコットランドの数学者ジェームズ・グレゴリーにより定式化され、フォーマルにはイギリスの数学者ブルック・テイラーによって1715年に導入された。0 を中心としたテイラー級数は、マクローリン級数 (英: Maclaurin series) とも呼ばれる。これはスコットランドの数学者コリン・マクローリンにちなんでおり、彼は18世紀にテイラー級数のこの特別な場合を積極的に活用した。
関数はそのテイラー級数の有限個の項を用いて近似することができる。テイラーの定理はそのような近似による誤差の定量的な評価を与える。テイラー級数の最初のいくつかの項として得られる多項式はテイラー多項式と呼ばれる。関数のテイラー級数は、その関数のテイラー多項式で次数を増やした極限が存在すればその極限である。関数はそのテイラー級数がすべての点で収束するときでさえもテイラー級数に等しいとは限らない。開区間（あるいは複素平面の開円板）でテイラー級数に等しい関数はその区間上の解析関数と呼ばれる。
前述の通り、一定の条件の下でテイラー展開の高次の項を無視することができる。例えば単振り子の問題では、振り子の振れ角 x が充分小さいことを利用して、正弦関数 sin x を x で近似できる。このように、関数をテイラー展開することで計算が容易になり、また原点近傍の振る舞いを詳細に調べることができるようになる。
一実変数関数のテイラー展開
外部リンク
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Taylor series”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
- 微積分I (2012) (12) 漸近展開 (1) (Calculus I (2012), Lecture 12) - YouTube
- Weisstein, Eric W. "Taylor Series". mathworld.wolfram.com (英語).
- Taylor series - PlanetMath.
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テイラー展開
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/07/25 00:38 UTC 版)
「二値エントロピー関数」の記事における「テイラー展開」の解説
二値エントロピー関数の1/2まわりでのテイラー展開は次のように与えられる。 H b ( p ) = 1 − 1 2 ln 2 ∑ n = 1 ∞ ( 1 − 2 p ) 2 n n ( 2 n − 1 ) {\displaystyle \operatorname {H} _{\text{b}}(p)=1-{\frac {1}{2\ln 2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(1-2p)^{2n}}{n(2n-1)}}} これは 0 ≤ p ≤ 1 {\displaystyle 0\leq p\leq 1} で成り立つ。
※この「テイラー展開」の解説は、「二値エントロピー関数」の解説の一部です。
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