誤差評価
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2014/11/22 22:42 UTC 版)
誤差の大きさは、その絶対量ではなく、格子幅h との関数関係により表される。その解析には、テイラー展開が用いられる。通常、数値解析ではh には小さい値が取られるため、より高次精度のものが誤差も小さい。 以下では、関数f の厳密な微分をDf 、離散化した微分をΔf と表す。
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誤差評価
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/26 13:56 UTC 版)
線形補間はしばしば、ある関数f上の他の2点の値を使って、その関数上のある値を近似するのに使われる。この近似による誤差は次のように定義される。 R T = f ( x ) − p ( x ) {\displaystyle R_{T}=f(x)-p(x)\,\!} ここで、pは線形補間多項式であり、以下で定義される。 p ( x ) = f ( x 0 ) + f ( x 1 ) − f ( x 0 ) x 1 − x 0 ( x − x 0 ) . {\displaystyle p(x)=f(x_{0})+{\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}(x-x_{0}).\,\!} エラーは次に示す式の範囲内にある。この式はもし、関数fが2次の連続する導関数を持つならば、ロルの定理を使えば証明できる。 | R T | ≤ ( x 1 − x 0 ) 2 8 max x 0 ≤ x ≤ x 1 | f ″ ( x ) | . {\displaystyle |R_{T}|\leq {\frac {(x_{1}-x_{0})^{2}}{8}}\max _{x_{0}\leq x\leq x_{1}}|f''(x)|.\,\!} 見れば分かるが、与えられた関数上の2点間の近似は、近似された関数の2次導関数から計算された値よりも悪くなる。このことは、カーブを描いた関数は単純な線形補間を使った近似を行うと悪い値が出ることからも、直感的に正しいことが分かる。
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誤差評価
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/12 06:05 UTC 版)
より詳しくは、現今最良の近似の誤差は次の結果である（ヴィノグラードフの素数定理）。充分大きな x について、 π ( x ) = Li x + O ( x exp { − c ( ln x ) 3 5 ( ln ln x ) − 1 5 } ) {\displaystyle \pi (x)=\operatorname {Li} x+O\left(x\exp \left\{-c(\ln x)^{\frac {3}{5}}(\ln \ln x)^{-{\frac {1}{5}}}\right\}\right)} ただし、c > 0 は絶対常数である。さらに、1901年にヘルゲ・フォン・コッホは、もしリーマン予想が正しければ次のように誤差評価を改善できることを証明した。 π ( x ) = Li x + O ( x ln x ) {\displaystyle \pi (x)=\operatorname {Li} x+O\left({\sqrt {x}}\ln x\right)} 逆に、上記の評価式が成り立てばリーマン予想が成り立つことも知られている。 また前節で挙げた表を見れば分かるように、x が小さければ π ( x ) < Li x {\displaystyle \pi (x)<\operatorname {Li} x} が成り立っている。これが全ての x で成り立つであろうと、ガウスやリーマンさえも予想していたが、これが正しくないことは1914年にジョン・エデンサー・リトルウッドが初めて示した。これが成り立たない最小の x をスキューズ数というが、具体的な値はほとんど分かっていない。 なお、 π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} と Li x {\displaystyle \operatorname {Li} x} の大小は、x が大きくなるにつれて無限に入れ替わる。
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