誤差見積もり
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/04 17:10 UTC 版)
ガウス求積法の誤差は次のように定式化される。積分対象の関数が 2n 次の連続導関数を持つとき、 ∫ a b ω ( x ) f ( x ) d x − ∑ i = 1 n w i f ( x i ) = f ( 2 n ) ( ξ ) ( 2 n ) ! ( p n , p n ) {\displaystyle \int _{a}^{b}\omega (x)\,f(x)\,dx-\sum _{i=1}^{n}w_{i}\,f(x_{i})={\frac {f^{(2n)}(\xi )}{(2n)!}}\,(p_{n},p_{n})} となり、ξ は (a, b) にあり、pn は n 次の直交多項式であり、さらに ( f , g ) = ∫ a b ω ( x ) f ( x ) g ( x ) d x {\displaystyle (f,g)=\int _{a}^{b}\omega (x)f(x)g(x)\,dx\,\!} である。ω(x) = 1 となる重要な特殊ケースでは、次のような誤差見積もりがある。 ( b − a ) 2 n + 1 ( n ! ) 4 ( 2 n + 1 ) [ ( 2 n ) ! ] 3 f ( 2 n ) ( ξ ) , a < ξ < b . {\displaystyle {\frac {(b-a)^{2n+1}(n!)^{4}}{(2n+1)[(2n)!]^{3}}}f^{(2n)}(\xi ),\qquad a<\xi <b.\,\!} Stoer and Bulirsch によれば、2n 次の導関数を見積もるのが難しいのでこの誤差見積もりは実用には不便であり、さらに言えば実際の誤差は導関数の界よりもずっと小さい。別の手法として、異なる次数のガウス求積法を使い、2つの結果の差分から誤差を見積もる方法もある。この場合、ガウス＝クロンロッド求積法が便利である。
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