収束の速度と誤差見積もり
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/19 22:01 UTC 版)
「スターリングの近似」の記事における「収束の速度と誤差見積もり」の解説
より正確に記すと、次のようになる。 n ! = 2 π n ( n e ) n e λ n {\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{\lambda _{n}}} ここで 1 12 n + 1 < λ n < 1 12 n . {\displaystyle {\frac {1}{12n+1}}<\lambda _{n}<{\frac {1}{12n}}.} スターリングの公式は以下の級数（スターリング級数）の近似（初項で打ち切ったもの）である。 n ! ∼ 2 π n ( n e ) n ( 1 + 1 12 n + 1 288 n 2 − 139 51840 n 3 − 571 2488320 n 4 + ⋯ ) {\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}-{\frac {139}{51840n^{3}}}-{\frac {571}{2488320n^{4}}}+\cdots \right)} n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } としたとき、省かれた級数はその最初の項とそれ以降が相殺するように漸近していく。これは漸近展開の一例である。 以下のような階乗の対数の漸近展開も「スターリング級数」と呼ぶ。 ln n ! ∼ n ln n − n + 1 2 ln 2 π n + 1 12 n − 1 360 n 3 + 1 1260 n 5 − 1 1680 n 7 + ⋯ {\displaystyle \ln n!\sim n\ln n-n+{\frac {1}{2}}\ln 2\pi n+{\frac {1}{12n}}-{\frac {1}{360n^{3}}}+{\frac {1}{1260n^{5}}}-{\frac {1}{1680n^{7}}}+\cdots } この場合、誤差は打ち切った級数の初項と同じ符号で同程度の大きさであることが知られている。
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