収束による諸概念の再定式化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/04 05:30 UTC 版)
「位相空間」の記事における「収束による諸概念の再定式化」の解説
有向点族の収束概念を用いると、閉包の概念を収束によって捉え直す事ができるようになる： 定理 (有向点族による特徴づけ) ― Aを位相空間Xの任意の部分集合とき、以下が成立する： Aは閉集合である⇔A上の有向点族(xλ)λ∈Λでa∈Xに収束するものがあれば、a∈Aである。 点aがAの閉包に含まれる⇔A上のある有向点族(xλ)λ∈Λが存在し、(xλ)λ∈Λはaに収束する。 点aがAの集積点である⇔ A ∖ { a } {\displaystyle A\setminus \{a\}} 上のある有向点族(xλ)λ∈Λが存在し、(xλ)λ∈Λはaに収束する。 上の定理の閉集合に関する部分は以下のように非常に簡単に示せる。他のものの証明も同様である： 証明 （⇒） a ∈ A ¯ {\displaystyle a\in {\bar {A}}} である事は以下と同値である： a の任意の近傍U に対し、 U ∩ A ≠ ∅ {\displaystyle U\cap A\neq \emptyset } ...(1) これはU ∩ A に少なくとも一つ元が存在する事を意味するので、そのような元をx U とすると x U ∈ U ∩ A ⊂ A {\displaystyle x_{U}\in U\cap A\subset A} である事から ( x U ) U ∈ V a {\displaystyle (x_{U})_{U\in {\mathcal {V}}_{a}}} はA 上にある。しかも前節で述べたように ( x U ) U ∈ V a {\displaystyle (x_{U})_{U\in {\mathcal {V}}_{a}}} は有向点族でありしかもa に収束する。 （ ⇐ {\displaystyle \Leftarrow } ）逆にa に収束するA 上の有向点族(xλ)λ∈Λがあったとすれば、収束性の定義からa の任意の近傍U 内に有向点族の点xλが存在する。しかも仮定からxλ ∈ A でもあったので、これは(1)が成立する事を意味し、したがって a ∈ A ¯ {\displaystyle a\in {\bar {A}}} である。 距離空間では、点列の収束概念を用いて閉包や閉集合を同様にして特徴づけができる事が知られており、上記の２つの定理はこの特徴づけを一般の位相空間に拡張したものである。しかし一般の位相空間の場合、上記2定理で述べられているように、距離空間と違い「点列」ではなく「有向点族」で特徴づける必要がある。 なぜなら点列の添字が全順序な可算集合であるという制約が原因で、一般の位相空間の性質を記述するには不足であり、点列の概念で閉集合や開集合を特徴づけるには位相空間の方にも可算性に関する条件を満たす必要があるからである。詳細は列型空間を参照されたい。
※この「収束による諸概念の再定式化」の解説は、「位相空間」の解説の一部です。
「収束による諸概念の再定式化」を含む「位相空間」の記事については、「位相空間」の概要を参照ください。
- 収束による諸概念の再定式化のページへのリンク
