収束の定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/04 05:30 UTC 版)
詳細は「極限#位相空間」を参照 以上の準備のもと、有向点族の収束の概念を定義する。 定義 (有向点族の収束) ― ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} を位相空間とする。X上の有向点族 x = ( x λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle x=(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} がa∈Xに収束するとは、 ∀U (a の近傍) ∃ λ 0 ∈ Λ ∀ λ > λ 0 : x λ ∈ U {\displaystyle \exists \lambda _{0}\in \Lambda \forall \lambda >\lambda _{0}~~:~~x_{\lambda }\in U} が成立する事をいう。 x = ( x λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle x=(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} の収束先aが一意であれば、 lim λ → ∞ x λ = a {\displaystyle \lim _{\lambda \to \infty }x_{\lambda }=a} 、 lim Λ x = a {\displaystyle \lim _{\Lambda }x=a} 等と表す。 B x {\displaystyle {\mathcal {B}}_{x}} をxの基本近傍系とするとき、以上の定義における「xの任意の近傍U」を「 B x {\displaystyle {\mathcal {B}}_{x}} の任意の元U」に変えたとしても定義としては同値になる。 よって特に、距離空間から定義される位相空間の場合は、「xの任意のεｰ近傍」としてもよい。従って点列の収束に関しては位相空間におけら収束と本章の冒頭にあげた距離空間における収束の定義は一致する。
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