収束する場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/01 14:57 UTC 版)
「ダランベールの収束判定法」の記事における「収束する場合」の解説
次の級数を考える。 ∑ n = 1 ∞ n e n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{e^{n}}}} これに、ダランベールの収束判定法を適用すると、 lim n → ∞ | a n + 1 a n | = lim n → ∞ | n + 1 e n + 1 n e n | = lim n → ∞ | ( 1 + 1 n ) 1 e | = 1 e < 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|&=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\;{\dfrac {n+1}{e^{n+1}}}\;}{\dfrac {n}{e^{n}}}}\right|\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|\left(1+{\frac {1}{n}}\right){\frac {1}{e}}\right|\\&={\frac {1}{e}}<1\end{aligned}}} .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/eは1より小さいため、級数は収束する。
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