絶対収束性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/10/08 06:02 UTC 版)
一般の級数のときと同じく、 ∑ n = 1 ∞ | a n | e − λ n s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|e^{-\lambda _{n}s}} が収束するとき、一般ディリクレ級数 ∑ n = 1 ∞ a n e − λ n s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}} は絶対収束するという。 絶対収束する複素数 s に対する、 Re s {\displaystyle \operatorname {Re} \ s} の下限を絶対収束軸 (line of absolute convergence)または絶対収束座標 (abscissa of absolute convergence)という。絶対収束軸について、一般ディリクレ級数がすべての点で絶対収束するときは − ∞ {\displaystyle \scriptstyle -\infty } 、常に絶対収束しない場合は + ∞ {\displaystyle \scriptstyle +\infty } と定める。 ディリクレ級数の場合、ある点で収束すれば絶対収束する点が存在するが(ディリクレ級数の絶対収束性を参照)、ある点で収束しても、すべての点で絶対収束しない一般ディリクレ級数が存在する。 例えば ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n n e − s log log n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n}}}e^{-s\log \log n}} は、すべての複素数 s に対して収束するが、絶対収束することはない。 一般に、収束軸が有限の値 σ c {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{c}} を持ち、 lim sup n → ∞ log n λ n {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\log n}{\lambda _{n}}}} が有限の値 α をとるならば、絶対収束軸 σ a {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{a}} は有限の値を持ち、 0 ≤ σ a − σ a ≤ α {\displaystyle \scriptstyle 0\leq \sigma _{a}-\sigma _{a}\leq \alpha } であることが知られている。 絶対収束軸は、先に述べた収束軸の値を求める公式を用いて、以下の様に与えられる。 一般ディリクレ級数 ∑ n = 1 ∞ a n e − λ n s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}} の絶対収束軸 σ a {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{a}} の値は、以下の様に求められる。 s n = ∑ k = 1 n | a k | {\displaystyle \textstyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|} が発散する場合 σ a = lim sup n → ∞ log s ( n ) log n {\displaystyle \sigma _{a}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log s(n)}{\log n}}} 。 s n = ∑ k = 1 n | a k | {\displaystyle \textstyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|} が収束する場合 σ a = lim sup n → ∞ log ( | a n | + | a n + 1 | + ⋯ ) log n {\displaystyle \sigma _{a}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log(|a_{n}|+|a_{n+1}|+\cdots )}{\log n}}} 。 また、 σ a = lim sup x → ∞ 1 x log ( ∑ [ x ] ≤ λ n < x | a n | ) {\displaystyle \sigma _{a}=\limsup _{x\to \infty }{\frac {1}{x}}\log \left(\sum _{[x]\leq \lambda _{n}<x}\!\!\!\!|a_{n}|\right)} が成り立つ。
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絶対収束性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/23 17:09 UTC 版)
一般の級数のときと同じく、 ∑ n = 1 ∞ | a n | n s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|a_{n}|}{n^{s}}}} が収束するとき、ディリクレ級数 ∑ n = 1 ∞ a n n s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}} は絶対収束するという。 例えば、ベキ級数のとき、収束円周上の点を除いて、収束すればその点で絶対収束するが、ディリクレ級数の場合、収束しても絶対収束するとは限らない。以下のことが成り立つからである。 収束軸 σ c {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{c}} が有限の値であるディリクレ級数 ∑ n = 1 ∞ a n n s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}} に対して、 ∑ n = 1 ∞ | a n | n s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|a_{n}|}{n^{s}}}} の収束軸を、 σ a {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{a}} とおくと、 0 ≤ σ a − σ c ≤ 1 {\displaystyle \scriptstyle 0\leq \sigma _{a}-\sigma _{c}\leq 1} が成立する。 さらに、上記右辺の 1 は最良である。つまり、 σ a = σ c + 1 {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{a}=\sigma _{c}+1} を満たすディリクレ級数が存在する。 この σ a {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{a}} を、絶対収束軸 (line of absolute convergence)または絶対収束座標 (abscissa of absolute convergence)という。 絶対収束軸は、先に述べた収束軸の値を求める公式を用いて、以下の様に与えられる。 ディリクレ級数 ∑ n = 1 ∞ a n n s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}} の絶対収束軸 σ a {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{a}} の値は、以下の様に求められる。 s n = ∑ k = 1 n | a k | {\displaystyle \textstyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|} が発散する場合 σ a = lim sup n → ∞ log s n log n {\displaystyle \sigma _{a}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log s_{n}}{\log n}}} 。 s n = ∑ k = 1 n | a k | {\displaystyle \textstyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|} が収束する場合 σ a = lim sup n → ∞ log ( | a n | + | a n + 1 | + ⋯ ) log n {\displaystyle \sigma _{a}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log(|a_{n}|+|a_{n+1}|+\cdots )}{\log n}}} 。
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