ディリクレ級数
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ディリクレ級数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/10/06 11:31 UTC 版)
「ウィーナー＝池原の定理」の記事における「ディリクレ級数」の解説
数列 {an} から定義される α ( t ) = ∑ n ≤ e t a n {\displaystyle \alpha (t)=\sum _{n\leq e^{t}}a_{n}} にラプラス＝スティルチェス変換を行えば、次のディリクレ級数に対する定理の系が得られる。 f(s)をan > 0を満たす数列 {an} によって、Re(s) > 1で定義される次の形のディリクレ級数とする。 f ( s ) = ∑ n = 1 ∞ a n n s {\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}} g ( s ) = f ( s ) − A s − 1 {\displaystyle g(s)=f(s)-{\frac {A}{s-1}}} s n = ∑ k = 1 n a k {\displaystyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}} s n ∼ A n {\displaystyle s_{n}\sim An} が成り立つ。 同様の結果はエドムント・ランダウによって得られていたが、f(s) の増大条件として、ある定数 c が存在し、 f ( s ) = O ( | s | c ) ( Re s ≥ 1 ) {\displaystyle f(s)=O(|s|^{c})\quad (\operatorname {Re} s\geq 1)} とする仮定を必要としていた。池原はこの条件を緩和し、より一般的にこの結果が成立することを示した。
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