ディリクレ級数の積分表示
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/23 17:09 UTC 版)
「ディリクレ級数」の記事における「ディリクレ級数の積分表示」の解説
(1) メリン変換 ディリクレ級数 ∑ n = 1 ∞ a n n s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}} に対して、ベキ級数 F ( z ) {\displaystyle F(z)} を F ( z ) = ∑ n = 1 ∞ a n z n {\displaystyle F(z)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}z^{n}} で定める。 このとき、 f ( s ) {\displaystyle f(s)} が絶対収束する領域内で ∑ n = 1 ∞ a n n s = 1 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ F ( e − t ) t s − 1 d t {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }F(e^{-t})t^{s-1}dt} が成立する。これをメリン変換 (Mellin transform)という。 この変換を用いて、ディリクレ級数の性質をベキ級数を用いて考察したり、その逆でベキ級数の性質をディリクレ級数から求めたりすることができる。 (2) フラッグマンによる積分表示 ディリクレ級数 ∑ n = 1 ∞ a n n s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}} に対して、 A ( x ) = ∑ n ≤ x a n {\displaystyle \scriptstyle A(x)=\sum _{n\leq x}a_{n}} とおく。もし lim x → ∞ A ( x ) x s = 0 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {A(x)}{x^{s}}}=0} であるならば ∑ n = 1 ∞ a n n s = s ∫ 1 ∞ A ( x ) x 1 + s d x {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {A(x)}{x^{1+s}}}dx} 。 但し、両辺のうち、少なくとも一方は収束しているとする。 (3) ラプラス＝スティルチェス変換 ディリクレ級数に対して、ラプラス＝スティルチェス変換を行うことにより、以下の様な積分表示が得られる。 ディリクレ級数 ∑ n = 1 ∞ a n n s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}} に対して、 B ( t ) = ∑ n ≤ e t a n {\displaystyle \scriptstyle B(t)=\sum _{n\leq e^{t}}a_{n}} とおく。このとき ∑ n = 1 ∞ a n n s = ∫ 0 ∞ e − t s d B ( t ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}=\int _{0}^{\infty }e^{-ts}dB(t)} 。
※この「ディリクレ級数の積分表示」の解説は、「ディリクレ級数」の解説の一部です。
「ディリクレ級数の積分表示」を含む「ディリクレ級数」の記事については、「ディリクレ級数」の概要を参照ください。
- ディリクレ級数の積分表示のページへのリンク
