ディリクレ級数の解析接続
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/23 17:09 UTC 版)
「ディリクレ級数」の記事における「ディリクレ級数の解析接続」の解説
ディリクレ級数 f ( s ) = ∑ n = 1 ∞ a n n s {\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}} に対して、 g ( t ) {\displaystyle g(t)} を g ( t ) = ∑ n = 1 ∞ a n e − n t {\displaystyle g(t)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-nt}} で定める。 g ( t ) {\displaystyle g(t)} の t → 0 {\displaystyle \scriptstyle t\to 0} での漸近展開として、 g ( t ) ∼ b 0 + b 1 t + b 2 t 2 + ⋯ {\displaystyle g(t)\sim b_{0}+b_{1}t+b_{2}t^{2}+\cdots } を持つ場合、 f ( s ) {\displaystyle f(s)} は全平面に正則に解析接続される。 さらに g ( t ) {\displaystyle g(t)} の t → 0 {\displaystyle \scriptstyle t\to 0} での漸近展開として、 g ( t ) ∼ b − 1 / t + b 0 + b 1 t + b 2 t 2 + ⋯ {\displaystyle g(t)\sim b_{-1}/t+b_{0}+b_{1}t+b_{2}t^{2}+\cdots } を持つのであれば、 f ( s ) {\displaystyle f(s)} は有理型に接続され、 f ( s ) − b − 1 / ( s − 1 ) {\displaystyle \scriptstyle f(s)-b_{-1}/(s-1)\!} は整関数である。 さらに、 n = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle \scriptstyle n=0,\ 1,\ 2,\ \ldots } に対して、 f ( − n ) = ( − 1 ) n n ! b n {\displaystyle f(-n)=(-1)^{n}n!b_{n}\!} が成り立つ。
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