ディリクレ級数との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/08/14 13:53 UTC 版)
「ゼータ函数正規化」の記事における「ディリクレ級数との関係」の解説
ゼータ函数正規化は、数論的函数 f(n) の任意の和の素晴らしい解析構造を与える。そのような和は、ディリクレ級数として知られている。正規化された形 f ~ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ f ( n ) n − s {\displaystyle {\tilde {f}}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)n^{-s}} F ( t ) = ∑ n = 1 ∞ f ( n ) e − t n . {\displaystyle F(t)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)e^{-tn}.} F ( t ) = a N t N + a N − 1 t N − 1 + ⋯ {\displaystyle F(t)={\frac {a_{N}}{t^{N}}}+{\frac {a_{N-1}}{t^{N-1}}}+\cdots } f ~ ( s ) = a N s − N + ⋯ . {\displaystyle {\tilde {f}}(s)={\frac {a_{N}}{s-N}}+\cdots .\,} Γ ( s + 1 ) = ∫ 0 ∞ x s e − x d x {\displaystyle \Gamma (s+1)=\int _{0}^{\infty }x^{s}e^{-x}\,dx} Γ ( s + 1 ) f ~ ( s + 1 ) = ∫ 0 ∞ t s F ( t ) d t {\displaystyle \Gamma (s+1){\tilde {f}}(s+1)=\int _{0}^{\infty }t^{s}F(t)\,dt} を導き、指数正規化とゼータ正規化を関連付け、s-平面の極をローラン級数の発散する項へ変換する。
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