ディリクレ指標のガウス和の性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/13 02:48 UTC 版)
「ガウス和」の記事における「ディリクレ指標のガウス和の性質」の解説
N を法とするディリクレ指標 χ のガウス和は、 G ( χ ) = ∑ a = 1 N χ ( a ) e 2 π i a / N {\displaystyle G(\chi )=\sum _{a=1}^{N}\chi (a)e^{2\pi ia/N}} となる。さらに χ が原始的 (primitive) であるなら、 | G ( χ ) | = N {\displaystyle |G(\chi )|={\sqrt {N}}} となり、特にこの値は非ゼロである。より一般に N0 が χ の導手 (conductor) であり、χ0 が χ を誘導するような N0 を法とする原始的ディリクレ指標であるなら、χ のガウス和は χ0 のガウス和と次の式によって関係付けられる。 G ( χ ) = μ ( N / N 0 ) χ 0 ( N / N 0 ) G ( χ 0 ) {\displaystyle G(\chi )=\mu (N/N_{0})\chi _{0}(N/N_{0})G(\chi _{0})~} ここで μ はメビウス関数である。結果として、N/N0 が平方因子を持たず N0 と互いに素であるときにちょうど G(χ) は非ゼロとなることが分かる。G(χ) と他の指標のガウス和との関係には、次のものもある。 G ( χ ¯ ) = χ ( − 1 ) G ( χ ) ¯ . {\displaystyle G({\overline {\chi }})=\chi (-1){\overline {G(\chi )}}.} ここで χ は複素共役ディリクレ指標である。また χ′ を N と互いに素な N′ を法とするディリクレ指標とすると、次が成り立つ。 G ( χ χ ′ ) = χ ( N ′ ) χ ′ ( N ) G ( χ ) G ( χ ′ ) . {\displaystyle G(\chi \chi ^{\prime })=\chi (N^{\prime })\chi ^{\prime }(N)G(\chi )G(\chi ^{\prime }).} χ と χ′ が同じ法の指標で、χχ′ が原始的であるときの G(χχ′)、G(χ) および G(χ′) の間の関係は、ヤコビ和 J(χ, χ′) によって調べられる。具体的には、次が成り立つ： G ( χ χ ′ ) = G ( χ ) G ( χ ′ ) J ( χ , χ ′ ) . {\displaystyle G(\chi \chi ^{\prime })={\frac {G(\chi )G(\chi ^{\prime })}{J(\chi ,\chi ^{\prime })}}.}
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