ディリクレ級数の係数の平均
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/23 17:09 UTC 版)
「ディリクレ級数」の記事における「ディリクレ級数の係数の平均」の解説
ディリクレ級数 f ( s ) = ∑ n = 1 ∞ a n n s {\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}} に対して、 lim x → ∞ a n = α {\displaystyle \lim _{x\to \infty }a_{n}=\alpha } であるならば、 f ( s ) {\displaystyle f(s)} は、 Re s > 1 {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Re} \ s>1} で収束して、 lim s → 1 + 0 ( s − 1 ) f ( s ) = α {\displaystyle \lim _{s\to 1+0}(s-1)f(s)=\alpha } が成立する。即ち、 f ( s ) {\displaystyle f(s)} は、 s = 1 {\displaystyle s=1} で1位の極を持ち、留数は α である。 逆に、上記ディリクレ級数の係数が非負の実数であり、収束軸が 1 で、 s = 1 {\displaystyle s=1} を除いて、 Re s = 1 {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Re} \ s=1} の近傍まで正則に解析接続できるとする。また s = 1 {\displaystyle s=1} で1位の極とし、留数を α とすると、 lim x → ∞ 1 x ∑ n ≤ x a n = α {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x}}\sum _{n\leq x}a_{n}=\alpha } が成り立つ。
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