収束軸
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/10/08 06:02 UTC 版)
任意の一般ディリクレ級数に対して、次のいずれかが成り立つ。 任意の複素数 s に対して、一般ディリクレ級数は収束する。 任意の複素数 s に対して、一般ディリクレ級数は発散する。 一般ディリクレ級数が Re s > σ c {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Re} \ s>\sigma _{c}} を満たす複素数 s に対して収束し、 Re s < σ c {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Re} \ s<\sigma _{c}} を満たす複素数 s に対して発散する様な実数 σ c {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{c}} が存在する。 この σ c {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{c}} を一般ディリクレ級数の収束軸 (line of convergence)または収束座標 (abscissa of convergence)という。収束軸について、一般ディリクレ級数が常に収束するときは − ∞ {\displaystyle \scriptstyle -\infty } 、常に発散する場合は + ∞ {\displaystyle \scriptstyle +\infty } と定める。 収束軸の値の求め方 一般ディリクレ級数 ∑ n = 1 ∞ a n e − λ n s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}} の収束軸 σ c {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{c}} の値は、以下の様に求められる。 s n = ∑ k = 1 n a k {\displaystyle \textstyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}} が発散する場合 σ c = lim sup n → ∞ log | s ( n ) | λ n {\displaystyle \sigma _{c}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log |s(n)|}{\lambda _{n}}}} 。 s n = ∑ k = 1 n a k {\displaystyle \textstyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}} が収束する場合 σ c = lim sup n → ∞ log | a n + a n + 1 + ⋯ | λ n {\displaystyle \sigma _{c}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log |a_{n}+a_{n+1}+\cdots |}{\lambda _{n}}}} 。 また、 σ c = lim sup x → ∞ 1 x log | ∑ [ x ] ≤ λ n < x a n | {\displaystyle \sigma _{c}=\limsup _{x\to \infty }{\frac {1}{x}}\log \left|\sum _{[x]\leq \lambda _{n}<x}\!\!\!\!a_{n}\right|} という式も知られている。
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収束軸
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/23 17:09 UTC 版)
任意のディリクレ級数に対して、次のいずれかが成り立つ。 任意の複素数 s に対して、ディリクレ級数は収束する。 任意の複素数 s に対して、ディリクレ級数は発散する。 ディリクレ級数がsの実部Re(s) > σ c {\displaystyle >\sigma _{c}} を満たす複素数 s に対して収束し、Re(s) < σ c {\displaystyle <\sigma _{c}} を満たす複素数 s に対して発散する様な実数 σ c {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{c}} が存在する。 この σ c {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{c}} をディリクレ級数の収束軸 (line of convergence)または収束座標 (abscissa of convergence)という。収束軸について、ディリクレ級数が常に収束するときは − ∞ {\displaystyle \scriptstyle -\infty } 、常に発散する場合は + ∞ {\displaystyle \scriptstyle +\infty } と定める。 注意1: 収束軸は、負の実数にもなり得る。例えば ∑ n = 1 ∞ n − 2 n s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{-2}}{n^{s}}}} の収束軸は -1 である。 注意2: 収束軸上の点の収束・発散は、ディリクレ級数によって異なる。 リーマンゼータ関数 ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} の収束軸は 1 であるが、 s = 1 {\displaystyle s=1} では発散する。 ディリクレ級数 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) [ log 2 n ] / log n n s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{[\log ^{2}n]}/\log n}{n^{s}}}} の収束軸は 1 であり、Re(s) = 1 {\displaystyle =1} を満たす複素数 s に対して収束する。 収束軸の値の求め方 ディリクレ級数 ∑ n = 1 ∞ a n n s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}} の収束軸 σ c {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{c}} の値は、以下の様に求められる。 s n = ∑ k = 1 n a k {\displaystyle \textstyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}} が発散する場合 σ c = lim sup n → ∞ log | s n | log n {\displaystyle \sigma _{c}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log |s_{n}|}{\log n}}} 。 s n = ∑ k = 1 n a k {\displaystyle \textstyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}} が収束する場合 σ c = lim sup n → ∞ log | a n + a n + 1 + ⋯ | log n {\displaystyle \sigma _{c}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log |a_{n}+a_{n+1}+\cdots |}{\log n}}} 。
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