代数的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/07/14 21:58 UTC 版)
ヒルベルト空間 H 上の有限階作用素 F(H) の族は、H 上の有界作用素の多元環 L(H) における両側 *-イデアルを形成する。実際、それはそのようなイデアルの間の極小元である。すなわち、L(H) 内の任意の両側 *-イデアル I は有限階作用素を含む必要がある。これを証明するのは難しくない。ゼロでない作用素 T ∈ I を取ると、ある f, g ≠ 0 に対して Tf = g が成り立つ。このとき任意の h, k ∈ H に対して、I に属する h から k への階数 1 の作用素 Sh,k の存在を示せば十分である。h から f への階数 1 の作用素 Sh,f を定義し、また同様に Sg,k を定義する。このとき S h , k = S g , k T S h , f {\displaystyle S_{h,k}=S_{g,k}TS_{h,f}} が成り立つが、これは Sh,k が I に属することを意味し、主張は示される。 L(H) 内の両側 *-イデアルの例として、トレースクラス、ヒルベルト＝シュミット作用素、コンパクト作用素などがある。F(H) はこれらの三つのイデアルのすべてにおいて、各ノルムについて稠密である。 L(H) 内の任意の両側イデアルは F(H) を必ず含むため。多元環 L(H) が単純であるための必要十分条件は、それが有限次元であることである。
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代数的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/01/02 21:25 UTC 版)
「フルーリーの多重複素数」の記事における「代数的性質」の解説
各代数 𝓜ℂn は一般化クリフォード代数（英語版）の例になっている。 en + 1 = 0 であるから、各代数 𝓜ℂn は商多元環 ℝ[X]/(Xn+1) に自然同型である。 擬ノルム（ドイツ語版）が非零となる任意の多重複素数は極形式 x = ρ exp ( ∑ i = 1 n − 1 ϕ i e i ) {\textstyle x=\rho \exp(\sum _{i=1}^{n-1}\phi _{i}e^{i})} に書ける。
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代数的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/08/31 14:19 UTC 版)
抽象代数学の言葉では、分解型複素数の全体は多項式環 ℝ[x] の x2 − 1 が生成するイデアルによる商環 R [ x ] / ( x 2 − 1 ) {\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}-1)} として記述できる。この商における x の像 x mod (x2 − 1) が「虚数単位」j である。この方法だと、分解型複素数の全体が標数 0 の可換環を成すことは明らかである。さらに自明な仕方でスカラー倍を定義して、分解型複素数の全体は実 2-次元の可換な多元環となる。この多元環は可逆元ではないヌル元をもつから斜体でも可換体でもない。事実として、非零ヌル元はすべて零因子である。加法と乗法は平面の通常の位相に関して連続であるから、分解型複素数の全体は位相環を成す。 分解型複素数の全体は「ノルム」が正定値ではないから、術語を通常の意味に解する限りはノルム代数を成さない。しかし、定義を拡張して一般の符号数を持つノルムというものを考えれば、その意味での「ノルム代数」と考えることができる。これは以下の事実 ‖ z w ‖ = ‖ z ‖ ‖ w ‖ {\displaystyle \lVert zw\rVert =\lVert z\rVert \lVert w\rVert } から従う。一般符号数を持つノルム代数の詳細は (Harvey 1990) を参照。 定義により、分解型複素数の環は位数 2 の巡回群 C2 に対する実数体 ℝ 上の群環 ℝ[C2] に同型であることが従う。 分解型複素数全体の環はクリフォード代数の特別の場合で、正定値二次形式を備えた一次元ベクトル空間上のクリフォード代数になっている。対して通常の複素数は負定値二次形式を備えた一次元ベクトル空間上のクリフォード代数である。この枠組みにおける分解型複素数はクリフォード代数 Cℓ 1,0 (ℝ) = Cℓ 01,1 (ℝ) の元のことである。実数を同様に拡張して複素数を ℂ := Cℓ 0,1 (ℝ) = Cℓ 02,0 (ℝ) と定義することができる。
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代数的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/08/31 15:03 UTC 版)
抽象代数学の言葉を使えば、二重数の全体は多項式環 R[X] を多項式 X2 の生成するイデアルで割って得られる剰余環 R[X]/(X2) として記述できる。この商における X の像が「虚数単位」ε である。このように書けば、二重数の全体が標数 0 の可換環を成すことは明らかである。さらには、これによって多項式環から遺伝する乗法が、二重数の全体に実二次元の可換結合多元環の構造を与えることも分かる。この多元環は、虚数単位 ε が可逆ではないから、体にも多元体にもならない。実は任意の非零純虚元が零因子になるのである（後述）。二元数全体の成す多元環は、R1 の外積代数 ∧R に同型である。
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代数的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/24 09:41 UTC 版)
マギーグラフの特性多項式は x 3 ( x − 3 ) ( x − 2 ) 3 ( x + 1 ) 2 ( x + 2 ) ( x 2 + x − 4 ) ( x 3 + x 2 − 4 x − 2 ) 4 {\displaystyle x^{3}(x-3)(x-2)^{3}(x+1)^{2}(x+2)(x^{2}+x-4)(x^{3}+x^{2}-4x-2)^{4}} である。マギーグラフの自己同型群の位数は 32 であり、その頂点は推移的ではない。つまり、長さ8や16の2つの頂点軌道をもつ。マギーグラフはvertex-transitive graphではない（頂点が推移的でない）最小の立方体グラフである・
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代数的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/24 09:55 UTC 版)
ヒーウッドグラフの自己同型群は、位数 336 の射影線型群 PGL2(7) と同型である。それは、グラフの頂点、辺および弧の上で推移的に作用する。したがって、ヒーウッドグラフは対称グラフである。任意の頂点や辺を、任意の別の頂点や辺へと写す自己同型が存在する。フォスター調査によれば、F014A と番号付けられるヒーウッドグラフは、頂点が14個であるような唯一つの立方体対称グラフである。 ヒーウッドグラフの固有多項式は ( x − 3 ) ( x + 3 ) ( x 2 − 2 ) 6 {\displaystyle (x-3)(x+3)(x^{2}-2)^{6}} である。ヒーウッドグラフはこの固有多項式を持つ唯一つのグラフであり、これによってヒーウッドグラフはそのスペクトルによって決定付けられるグラフとなっている。
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代数的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/24 09:31 UTC 版)
フォークマングラフの自己同型群は、その辺上では推移的に作用するが、頂点上ではそのように作用しない。フォークマングラフは、辺推移的かつ正則な最小の無向グラフであるが、頂点推移的ではない。そのようなグラフは半対称グラフと呼ばれ、1967 年にこのグラフを発見したフォークマンによって初めて研究された。 半対称グラフとしてのフォークマングラフは2部であり、その自己同型群は各二つの頂点からなる bipartition の集合上で推移的に作用する。フォークマングラフの彩色数を示している下の図においては、緑の頂点が赤の頂点へと写される自己同型は存在しないが、どのような赤の頂点も他の赤の頂点へと写すことができ、また、どのような緑の頂点も他の緑の頂点へと写すことが出来る。 フォークマングラフの特性多項式は ( x − 4 ) x 10 ( x + 4 ) ( x 2 − 6 ) 4 {\displaystyle (x-4)x^{10}(x+4)(x^{2}-6)^{4}} である。
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代数的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/24 09:38 UTC 版)
「ホフマン–シングルトングラフ」の記事における「代数的性質」の解説
ホフマン–シングルトングラフの隣接行列の固有多項式は、 ( x − 7 ) ( x − 2 ) 28 ( x + 3 ) 21 {\displaystyle (x-7)(x-2)^{28}(x+3)^{21}} 。よってホフマン–シングルトングラフは整グラフ（隣接行列の任意の固有値が整数）となる。
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代数的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/30 22:03 UTC 版)
2つの形式的ディリクレ級数 f ( s ) = ∑ n = 1 ∞ a n n s , g ( s ) = ∑ n = 1 ∞ b n n s {\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},\ \ \ \ \ g(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {b_{n}}{n^{s}}}} の和を、 f ( s ) + g ( s ) = ∑ n = 1 ∞ a n + b n n s , {\displaystyle f(s)+g(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}+b_{n}}{n^{s}}},} 積(畳み込み (faltung、convolution)またはディリクレ積 (Dirichlet product)という)を、 f ( s ) g ( s ) = ∑ n = 1 ∞ c n n s , c n = ∑ k | n , k ≥ 1 a k b n / k {\displaystyle f(s)g(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{n}}{n^{s}}},\ \ \ \ \ c_{n}=\!\!\!\sum _{k|n,\ k\geq 1}\!\!\!a_{k}b_{n/k}} と定めると、係数が環 R の元からなるディリクレ級数全体は環を成す。もし、環 R が可換であれば、ディリクレ級数環も可換である。 上で述べたことは、形式的ディリクレ級数についての議論であったので、収束性については考えていないが、ある複素数 α に対して、 f ( α ) , g ( α ) {\displaystyle \scriptstyle f(\alpha ),\ g(\alpha )} が収束している場合、上記の和、積で与えられたディリクレ級数が、 s = α {\displaystyle s=\alpha } で収束するかを考えてみることにする。和については、ディリクレ級数 f ( s ) + g ( s ) {\displaystyle \scriptstyle f(s)+g(s)} が s = α {\displaystyle s=\alpha } で収束することは成り立つが、積については、ディリクレ級数 f ( s ) g ( s ) {\displaystyle \scriptstyle f(s)g(s)} は、必ずしも s = α {\displaystyle s=\alpha } で収束しない。 例えば、2つのディリクレ級数を f ( s ) = g ( s ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n n s {\displaystyle f(s)=g(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{s}}}} とおくと、それぞれ、収束軸は 0 であるが、ディリクレ級数 h ( s ) = f ( s ) g ( s ) {\displaystyle h(s)=f(s)g(s)} の収束軸は 1 である。従って、 f ( 1 / 2 ) , g ( 1 / 2 ) {\displaystyle \scriptstyle f(1/2),\ g(1/2)} はそれぞれ収束するが、 h ( 1 / 2 ) {\displaystyle h(1/2)} は収束しない。 さらに、 f ( s ) , g ( s ) {\displaystyle \scriptstyle f(s),\ g(s)} の収束軸が分かっていても、 f ( s ) g ( s ) {\displaystyle f(s)g(s)} の収束軸が不明な場合もある。
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代数的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/12/25 14:56 UTC 版)
素数冪は素数の冪乗である。全ての素数冪（2の冪を除く）には原始根があり、したがって、pn を法とする整数の乗法群（もしくは環 Z/pnZ の単数群を考えることと同等）は巡回的である。一方で2の冪は一般には原始根を持たない。Z/2nZ の単数群は n = 1, 2 では巡回的だが、n が3以上なら巡回的ではなく、2つの巡回群の直積 C2×C2n-2 に同型である。 有限体の要素の個数は必ず素数冪であり、逆に、どの素数冪も（同型を除いてただ一つの）有限体の要素数として現れる。この体は F(pn) などと書く。
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代数的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/30 16:47 UTC 版)
数論的関数 f ( n ) , g ( n ) {\displaystyle \scriptstyle f(n),\ g(n)} に対して、ディリクレ積 f ∗ g {\displaystyle f*g} を ( f ∗ g ) ( n ) = ∑ d ≥ 1 , d | n f ( d ) g ( n / d ) {\displaystyle (f*g)(n)=\!\!\!\sum _{d\geq 1,\ d|n}\!\!\!f(d)g(n/d)} と定めると、 f ∗ g {\displaystyle f*g} は数論的関数となる。従って、数論的関数全体集合は多元環となる。 乗法的関数 f ( n ) , g ( n ) {\displaystyle \scriptstyle f(n),\ g(n)} に対して、ディリクレ積 f ∗ g {\displaystyle f*g} で得られた数論的関数は乗法的関数となる。 数論的関数 f ( n ) {\displaystyle f(n)} が、ある正数 C と、数論的関数 g ( n ) {\displaystyle g(n)} が存在して、 f ( n ) = C g ( n ) {\displaystyle \scriptstyle f(n)=C^{g(n)}} と表されるとする。すると、 f ( n ) {\displaystyle f(n)} が(完全)乗法的関数である必要十分条件は、 g ( n ) {\displaystyle g(n)} は(完全)加法的関数である。
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代数的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/03 17:26 UTC 版)
任意の真に正な実数 a, b と任意の実数 x, y に対し: a x = exp ( x ln ( a ) ) = e x ln ( a ) , a x = b x log b ( a ) , a x y = ( a x ) y {\displaystyle a^{x}=\exp(x\ln(a))=e^{x\ln(a)},\quad a^{x}=b^{x\log _{b}(a)},\quad a^{xy}=(a^{x})^{y}} が成り立つ。 写像 expa: x ↦ ax は (R, +) から (R×+ , ×) へのアーベル群の準同型である: a x + y = a x a y , a 0 = 1 , 1 a x = a − x . {\displaystyle a^{x+y}=a^{x}a^{y},\quad a^{0}=1,\quad {\frac {1}{a^{x}}}=a^{-x}.} これら準同型 expa の全体は、a ↦ expa を通じて (R×+ , ×) に群同型: a x b x = ( a b ) x , 1 x = 1 , 1 a x = ( 1 a ) x , a 1 = a . {\displaystyle a^{x}b^{x}=(ab)^{x},\quad 1^{x}=1,\quad {\frac {1}{a^{x}}}=\left({\frac {1}{a}}\right)^{x},\quad a^{1}=a.} したがって、(R, +) にも同型である（一径数群（フランス語版））。
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代数的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/15 05:35 UTC 版)
四元数全体のなす集合 H は実数体上の 4次元ベクトル空間を成す（実数全体は 1次元、複素数全体は 2次元、八元数全体は 8次元である）。四元数は加法と、結合的で分配的な乗法を持つが、その乗法は可換でない。従って四元数の全体 H は実数体上の非可換結合多元環である。H には複素数体 ℂ の複製が含まれるが、H は C 上の結合多元環にはならない。 四元数は除法が可能であるから、H は多元体（乗法が可換でないことを除けば可換体と同様の構造）である。実数体上の有限次元結合的多元体は非常に少なく、フロベニウスの定理はそれが R, C, H のちょうど3種類であることを述べるものである。また、四元数のノルムにより四元数の全体はノルム多元環となるが、実数体上のノルム多元体もまた非常に限られ、フルヴィッツの定理（英語版）はそれが R, C, H, O の四種類（O は八元数全体）であることを述べる。四元数全体はまた、合成代数や単位的バナッハ環の一例でもある。 Q8 の乗積表×1ijk−1−i−j−k11 i j k −1 −i −j −k ii −1 k −j −i 1 −k j jj −k −1 i −j k 1 −i kk j −i −1 −k −j i 1 −1−1 −i −j −k 1 i j k −i−i 1 −k j i −1 k −j −j−j k 1 −i j −k −1 i −k−k −j i 1 k j −i −1 基底元の積は別の基底元に符号を付けたものになるから、集合 {±1, ±i, ±j, ±k} はその乗法に関して群を成す。この群は四元数群と呼ばれ、Q8 で表す。Q8 の実係数群環 RQ8 は環であり、また R 上の 8次元ベクトル空間でもあり、Q8 の各元を基底ベクトルに持つ。四元数体 H は RQ8 を 1 + (−1), i + (−i), j + (−j), k + (−k) で生成するイデアルで割った剰余環になっている。ここで、生成元となっている各差の第一項は基底元 1, i, j, k のそれぞれ一つであり、第二項は残りの基底元 −1, −i, −j, −k のそれぞれ一つであって、これらは 1, i, j, k の（群環の加法に関する）加法的逆元でないことに注意（剰余環、つまり H の中では加法逆元になる）。
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代数的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/17 07:27 UTC 版)
代数的数に対する加減乗除の結果は、やはり代数的数であるので、代数的数全体からなる集合は体をなし、 Q ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}} と表す。 しかしながら、α, β を n 次の代数的数としたとき、α + β や αβ が n 次の代数的数になるとは限らない。たとえば、 α = 2 , β = 1 + i {\displaystyle \alpha ={\sqrt {2}},\ \beta =1+i} とすると、これらはともに 2 次の代数的数であるが、α + β や αβ はどちらも 4 次の代数的数である。 一般に、 deg ( α + β ) , deg α β ≤ deg α deg β {\displaystyle \deg(\alpha +\beta ),\ \deg \alpha \beta \leq \deg \alpha \deg \beta } が成立する。 有理数体に有限個の代数的数を添加した体は、ある 1 つの代数的数を有理数体に添加した体に等しいので、有理数体の有限次拡大体（このような体のことを代数体という）となる。 逆に、任意の代数体は、有理数体に代数的数を添加した体に同型であるので、代数的数を、代数体の元のこととして定義することもできる。 これらのことから、任意の有理数に対して、加法、乗法、および、累乗根をとる操作を有限回適用することにより、代数的数をいくらでも生成することができる。 問題は、この逆、任意の代数的数は、これらの演算を用いて表現することが可能であるか否かであるが、まず 4 次以下の代数的数は、有限個の有理数を元にして、有限回の加法、乗法、および、累乗根を用いて表現することができる（代数的方程式の解法を参照）。 しかしながら、5 次以上の代数的数は、必ずしも、これらの演算を用いて表現することはできず、たとえば x5 − x − 1 = 0 の根は、有限個の有理数を基に、加法、乗法、および、累乗根を有限回用いて表現することはできない（ガロア理論を参照）。 Q ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}} の性質 Q ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}} は、有理数体の無限次元の代数拡大体である。また、代数的数を係数とする 0 ではない多項式の根は代数的数であるので、 Q ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}} は、代数的閉体である。さらに、有理数体を含む任意の代数的閉体は、 Q ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}} を含むので、有理数体の代数的閉包でもある。
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代数的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/26 03:41 UTC 版)
今までの定義に従えば、拡張実数の全体 R は体にも環にもならない。それでも以下のような十分扱いやすい性質が成立する： a + (b + c) および (a + b) + c は等しいかさもなくば両者とも無意味。 a + b および b + a は等しいかさもなくば両者とも無意味。 a × (b × c) および (a × b) × c は等しいかさもなくば両者とも無意味。 a × b および b × a は等しいかさもなくは両者とも無意味。 a × (b + c) および (a × b) + (a × c) は両者が定義される限り等しい。 a ≤ b であり a + c および b + c がともに定義されるならば a + c ≤ b + c が成り立つ。 a ≤ b かつ c > 0 であり a × c および b × c がともに定義されるならば a × c ≤ b × c が成り立つ。 一般に、現れる式がすべてきちんと定義される限りにおいて、R における四則演算の法則は R におけると同様にすべて成り立つ。
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代数的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/06/26 20:14 UTC 版)
「ホフマン-シングルトングラフ」の記事における「代数的性質」の解説
ホフマン-シングルトングラフの隣接行列の固有多項式は、。よってホフマン-シングルトングラフは整グラフ（隣接行列の任意の固有値が整数）となる。
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代数的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/10/28 16:41 UTC 版)
各階 n において成分数は倍化し、ℂ0 := ℝ が ℝ 上一次元であるから、ℂn は ℝ 上の次元が 2n である。 各 ℂn はバナッハ代数を成す。 n ≥ 2 に対し、可換環 ℂn は零因子を持つ: なんとなれば二つの自然数が a ≠ b のとき、ia − ib ≠ 0 かつ ia + ib ≠ 0 だが (ia − ib)(ia + ib) = i2a − i2b = 0 を満たす; 二つの自然数が a ≠ b のとき、ia⋅ib − 1 ≠ 0 かつ ia⋅ib + 1 ≠ 0 だが (ia⋅ib − 1)(ia⋅ib + 1) = i2a⋅i2b − 1 = 0 を満たす。
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