代数的属性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/24 09:57 UTC 版)
あるグラフの隣接行列を A とする。そのグラフが正則であることは、A の固有ベクトルが j = ( 1 , … , 1 ) {\displaystyle {\textbf {j}}=(1,\dots ,1)} であることと同値である。その場合、その固有値はそのグラフの次数となる。他の固有値に対応した固有ベクトルは j {\displaystyle {\textbf {j}}} と直交なので、そのような固有ベクトル v = ( v 1 , … , v n ) {\displaystyle v=(v_{1},\dots ,v_{n})} について ∑ i = 1 n v i = 0 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}v_{i}=0} が成り立つ。 次数 k の正則グラフが連結していることと、固有値 k の重複度が1であることは同値である。 正則な連結グラフの判定基準も存在する。グラフが連結かつ正則であることと、 J i j = 1 {\displaystyle J_{ij}=1} である行列 J がそのグラフの隣接代数（Aの冪乗の1次結合）にあることは同値である。[要出典] グラフGはk-正則グラフで、直径D、隣接行列の固有値群は k = λ 0 > λ 1 ≥ ⋯ ≥ λ n − 1 {\displaystyle k=\lambda _{0}>\lambda _{1}\geq \dots \geq \lambda _{n-1}} とする。Gが2部グラフでないなら、次が成り立つ。 D ≤ log ( n − 1 ) log ( k / λ ) + 1 {\displaystyle D\leq {\frac {\log {(n-1)}}{\log(k/\lambda )}}+1} ここで λ = max i > 0 { ∣ λ i ∣ } {\displaystyle \lambda =\max _{i>0}\{\mid \lambda _{i}\mid \}} である。[要出典]
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