代数的定義とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

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代数的定義

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/29 22:09 UTC 版)

「ドット積」の記事における「代数的定義」の解説

2つのベクトル A = [A1, A2, ..., An] と B = [B1, B2, ..., Bn] のドット積は下記のように定義される。 A ⋅ B = ∑ i = 1 n A i B i = A 1 B 1 + A 2 B 2 + ⋯ + A n B n {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\sum _{i=1}^{n}A_{i}B_{i}=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+\cdots +A_{n}B_{n}}

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/29 01:43 UTC 版)

「アーベル多様体」の記事における「代数的定義」の解説

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/29 18:24 UTC 版)

「j-不変量」の記事における「代数的定義」の解説

今までは、j を複素変数の函数として考えてきたが、楕円曲線の同型類の不変量としては、j を純粋に代数的に定義することもできる。 y 2 + a 1 x y + a 3 y = x 3 + a 2 x 2 + a 4 x + a 6 {\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}} を任意の体の上の平面楕円曲線とすると、 b 2 = a 1 2 + 4 a 2 , b 4 = a 1 a 3 + 2 a 4 {\displaystyle b_{2}=a_{1}^{2}+4a_{2},\quad b_{4}=a_{1}a_{3}+2a_{4}} b 6 = a 3 2 + 4 a 6 , b 8 = a 1 2 a 6 − a 1 a 3 a 4 + a 2 a 3 2 + 4 a 2 a 6 − a 4 2 {\displaystyle b_{6}=a_{3}^{2}+4a_{6},\quad b_{8}=a_{1}^{2}a_{6}-a_{1}a_{3}a_{4}+a_{2}a_{3}^{2}+4a_{2}a_{6}-a_{4}^{2}} c 4 = b 2 2 − 24 b 4 , c 6 = − b 2 3 + 36 b 2 b 4 − 216 b 6 {\displaystyle c_{4}=b_{2}^{2}-24b_{4},\quad c_{6}=-b_{2}^{3}+36b_{2}b_{4}-216b_{6}} と定義することができ、 Δ = − b 2 2 b 8 + 9 b 2 b 4 b 6 − 8 b 4 3 − 27 b 6 2 {\displaystyle \Delta =-b_{2}^{2}b_{8}+9b_{2}b_{4}b_{6}-8b_{4}^{3}-27b_{6}^{2}} と表すと、これは楕円曲線の判別式を表している。ここで、楕円曲線の j-不変量を j = c 4 3 Δ {\displaystyle j={c_{4}^{3} \over \Delta }} と定義する。楕円曲線が定義されている体の標数が 2 もしくは 3 でない場合に、この定義は j = 1728 c 4 3 c 4 3 − c 6 2 {\displaystyle j=1728{c_{4}^{3} \over c_{4}^{3}-c_{6}^{2}}} と書き直すことができる。