24とは？

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24

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/08/02 08:38 UTC 版)

23 ← 24 → 25
素因数分解	23 × 3
二進法	11000
六進法	40
八進法	30
十二進法	20
十六進法	18
十八進法	16
二十進法	14
ローマ数字	XXIV
漢数字	二十四
大字	弐拾四
算木
位取り記数法	二十四進法

24（二十四、廿四、にじゅうし、にじゅうよん、はたよん、はたちあまりよつ）は、自然数、また整数において、23 の次で 25 の前の数である。

性質

• 24 は合成数であり、正の約数は 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 である。
  • 約数の和は60。
  • 約数を8個もつ最小の数である。次は30。
    • 5番目の高度合成数であり約数を8個持つ。1つ前は12、次は36。
    • 自分自身のすべての約数の積が自分自身の4乗になる最小の数である。1つ前の3乗は12、次の5乗は48。(オンライン整数列大辞典の数列 A003680)
• 1/24 = 0.0416…（下線部は循環節。循環節の長さは 1 である。）
• 6番目の高度トーシェント数。1つ前は12、次は48。
• 7番目のトリボナッチ数であり、1つ前は13、次は44。
• 24 = 4! = 4 × 3 × 2 × 1
  • 4番目の階乗数である。1つ前は6、次は120。
  • 4連続整数の積で表すことのできる数である。自然数の範囲では最小、0を含めると1つ前は0、次は120。
  • 24 = 2 × 3 × 4
    • 3連続整数の積で表すことのできる数である。1つ前は6、次は60。
    • 24 = 3³ − 3
      • 24 = 3³ − 3¹ = 3¹ × (3² − 1)
        • n = 2 のときの 3ⁿ⁻¹×(3ⁿ − 1) の値とみたとき1つ前は2、次は234。(オンライン整数列大辞典の数列 A219205)
• 24! = 620448401733239439360000 は、10進数で24桁である。n! が10進数で n 桁になるのは、1, 22, 23, 24 のみで、24 が最大である。
• 24² + 1 = 577 であり、n² + 1 の形で素数を生む9番目の数である。1つ前は20、次は26。
• かけ算九九では、3 × 8（さんぱにじゅうし）、 4 × 6（しろくにじゅうし）、 6 × 4（ろくしにじゅうし）、 8 × 3（はちさんにじゅうし） と 4 通りに表される。九九での表し方は 4 通りが最大で、他に 6, 8, 12, 18 がそれに当たる。
• 24 の24乗根の小数部分は、円周率 π の小数部分に近い。

²⁴√24 ≈ 1.14158644

π − ²⁴√24 ≈ 2.00000621

• p を 5 以上の素数とすると p² − 1 は必ず24の倍数である。例: 5² − 1 = 24 × 1 , 7² − 1 = 24 × 2 , 11² − 1 = 24 × 5
• 1² + 2² + … + 24² = 70²
• 正二十四胞体は6つ中4番目（胞数順で）の正多胞体である。前は正十六胞体、次は正百二十胞体である。
• 15番目のハーシャッド数である。1つ前は21、次は27。
  • 6を基とする2番目のハーシャッド数である。1つ前は6、次は42。
• 各位の和が24となるハーシャッド数の最小は888、1000までに1個、10000までに48個ある。
• 約数の和が24になる数は3個ある。(14, 15, 23) 約数の和3個で表せる最小の数である。次は42。
  • 約数の和が24より小さな数で3個ある数はない。1つ前は12(2個)、次は72(5個)。
• 各位の和が6になる3番目の数である。1つ前は15、次は33。
• 各位の積が8になる3番目の数である。1つ前は18、次は42。(オンライン整数列大辞典の数列 A199989)
• 連続してある数に対して約数の和を求めていった場合10個の数が24になる。24より小さい数で10個ある数はない。1つ前は15(5個)、次は60(14個)。いいかえると $\sigma ^{m}(n)=24~(m\geqq 1)$ を満たす n が10個あるということである。(ただし σ は約数関数)(参照オンライン整数列大辞典の数列 A241954)
• 24 = 2³ × (2² − 1)
  • n = 2 のときの 2ⁿ⁺¹ × (2ⁿ − 1) の値とみたとき1つ前は4、次は112。(オンライン整数列大辞典の数列 A059153)
• 24 = 3 × 2³
  • n = 3 のときの n × 2ⁿ の値とみたとき1つ前は8、次は64。(オンライン整数列大辞典の数列 A036289)
  • n = 2 のときの 3n³ の値とみたとき1つ前は3、次は81。(オンライン整数列大辞典の数列 A117642)
  • 24 = 2³ + 2³ + 2³
    • 3つの正の数の立方数の和として1通りに表すことができる4番目の数である。1つ前は17、次は29。(オンライン整数列大辞典の数列 A025395)
• 24 = 2³ × 3¹ 、2ⁱ × 3^j (i ≧ 1, j ≧ 1) で表せる4番目の数である。1つ前は18、次は36。(オンライン整数列大辞典の数列 A033845)
• 異なる2つの素数の和3通りで表せる最小の数である。次は30。(オンライン整数列大辞典の数列 A077969)
  24 = 5 + 19 = 7 + 17 = 11 + 13
  • 異なる2つの素数の和 n 通りで表せる最小の数である。1つ前の2通りは16、次の4通りは36。(オンライン整数列大辞典の数列 A087747)
• 異なる平方数の和で表せない31個の数の中で13番目の数である。1つ前は23、次は27。(オンライン整数列大辞典の数列 A001422)

その他 24 に関連すること

• 24 × 単位
  • 24° = 2/15π（ラジアン）。これは 1/15 周であり、すなわち正十五角形の中心角であり、すなわちその外角である。
  • 1日は24時間である。24時は日の変わり目であることから、俗に締切りに例えられる。転じて、締切りや危機が迫っている様相を、「24時15分前」「23時45分」に例える。
  • 24年組: 昭和24年（1949年）生まれの少女漫画家の集まり。花の24年組と呼ばれる。
  • 純金は24カラット（24金）。
  • 青年の定義は一般的に15歳から24歳まで（あるいは34歳まで）である。
• 24番目のもの
  • 年始から数えて24日目は1月24日。
  • 第24番元素はクロム (Cr) である。
  • 第24代天皇は仁賢天皇である。
  • 日本の第24代内閣総理大臣は加藤高明である。
  • 大相撲の第24代横綱は鳳谷五郎である。
  • アメリカ合衆国の第24代大統領はグロバー・クリーブランドである。
  • アメリカ合衆国の24番目の州はミズーリ州である。
  • JIS X 0401、ISO 3166-2:JPの都道府県コードの「24」は三重県。
  • 第24代殷王は祖甲である。
  • 第24代周王は景王である。
  • 第24代ローマ教皇はシクストゥス2世（在位：257年8月31日～258年8月6日）である。
  • 易占の六十四卦で第24番目の卦は、地雷復。
  • クルアーンにおける第24番目のスーラは御光である。
  • 一般国道24号は京都府京都市下京区から和歌山県和歌山市まで。
  • 国道124号は、24番目の二級国道である。
  • 第24番小惑星はテミスである。
  • M24 は星雲・星団等ではなく、天の川が濃くなった領域である。
• 24あるもの
  • 二十四史: 中国の正史の数。
  • 二十四節気: 1年を24分割し、15日を1節気とする。
  • 長調と短調を併せて24種類ある。J.S.バッハが全24調で「前奏曲とフーガ」を作曲した（『平均律クラヴィーア曲集』、全2巻）ため、後世の作曲家がこれに倣い、前奏曲や練習曲などを24曲構成で作曲している。
  • 大阪市は24区からなり、「東京23区」に対して「大阪24区」と呼ばれることもある。
  • 日本には競艇場が24場ある。
• 言葉
  • 24/7 (twenty-four seven) は、24時間・週7日間を転じて always（いつも）という意味を持つ。
  • 日本語で「常に」を意味する語「四六時中」は、“4局面 × 6時間 = 24時間”を表す。
  • 「通報」の意。「ツー（2）フォー（4）」から。
• 企業
  • タイム二十四：東京都の第三セクター。
  • に・よん・なな・みゅーじっく：日本の音楽関連企業。
  • パーク24：駐車場運営会社。
  • ベルシステム24：コールセンター業最大手の企業。
• 作品タイトル
  • 24 -TWENTY FOUR-（トゥウェンティフォー）：FOX（アメリカ合衆国）制作のテレビドラマ。
  • 24/7 -TWENTY FOUR/SEVEN-：DREAMS COME TRUEのシングル。
  • 24karats GOLD SOULは、EXILEの通算46枚目のシングル。
  • 二十四の瞳: 壺井栄の小説。
  • 24ナイツ : エリック・クラプトンが1991年に発表したライブ・アルバム。
• 商品名
  • 24ゾイド（ツーフォー-）: 『ゾイド』シリーズに登場する架空の兵器。
• 符号
  • 24系はJRのブルートレインに使われる客車。
  • 日本プロ野球・埼玉西武ライオンズの背番号24は稲尾和久投手の永久欠番（元々は前身の西鉄ライオンズでの永久欠番であったが、1972年11月の西鉄球団売却に伴い失効。その後、2012年に後身の西武が再度永久欠番とした）。

基本的な計算のリスト

乗法	1	2
$24\times x$	24	48

符号位置

記号	Unicode	JIS X 0213	文字参照	名称
㉔	U+3254	1-8-36	㉔ ㉔	CIRCLED DIGIT TWENTY FOUR

関連項目

• 0 - 10 - 20 - 30 - 40 - 50 - 60 - 70 - 80 - 90 - 100
• 21 - 22 - 23 - 24 - 25 - 26 - 27 - 28 - 29
• 紀元前24年 - 西暦24年 - 1924年 - 2024年 平成24年 昭和24年 明治24年 24世紀
• 名数一覧

2桁までの自然数

(0)	1	2	3	4	5	6	7	8	9
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26	27	28	29
30	31	32	33	34	35	36	37	38	39
40	41	42	43	44	45	46	47	48	49
50	51	52	53	54	55	56	57	58	59
60	61	62	63	64	65	66	67	68	69
70	71	72	73	74	75	76	77	78	79
80	81	82	83	84	85	86	87	88	89
90	91	92	93	94	95	96	97	98	99
斜体で表した数は素数である。

2/4

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/03/10 02:45 UTC 版)

2/4

• 有理数の 2/4（4分の2）。すなわち 1/2（2分の1）。
• 音楽の4分の2拍子。ポルカによく使用される。
• 日付
  • 2月4日
  • 4月2日

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2+4

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2013/03/09 08:34 UTC 版)

2+4

• ドイツ最終規定条約
• 韓国、北朝鮮、アメリカ、中国、日本、ロシアの6ヶ国による会議。

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正の数と負の数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/04/17 10:28 UTC 版)

正の数（せいのすう、英: positive number）とは、0より大きい実数である。負の数（ふのすう、英: negative number）とは、0より小さい実数である。

定義

数学において負数はマイナス記号を数字の前につけて表されるが、簿記などでは数字を赤くしたり三角形を数字の前に付けることによって表すこともある。

零は増減の無い状態であるため、正でも負でもない。負でない数 (non-negative number) とは零より小さくない、つまり零または正の実数である。正でない数 (non-positive number) とは零より大きくない、つまり零または負の実数である。

複素数の体系で考えている場合、そのうち実数についてのみ正負を論じ、虚数は正でも負でもないとされる。例えば「正の数」と言えば、それが実数であることを暗黙のうちに含意するが、明確化のために「正の実数」と言うこともできる。

一般に順序体において、零元より大きな元を正の元、零元より小さな元を負の元という。順序体ではない体、例えば複素数体、有限体、p 進数体においては、四則演算と両立する正負の概念を定義することができない。

負の数

負の整数は、方程式 x − y = z がどんな x と y に対しても、z に関する方程式として意味をもつように自然数の体系を拡張して得られるものだと考えられる。このような負の整数の捉え方と同様にして、負の有理数や負の実数も得られる。

負数は、温度のように目盛り上で零より低くなる値を記述するのに有用である。簿記においても、負債の表現に使用できる。簿記において、負債はしばしば赤い数字（赤字）や三角形を前に付けた数字によって表す。

負でない数

実数はゼロに等しいかそれより大きい（すなわち正であるかゼロである）ときかつそのときに限り、負でない。したがって負でない整数はゼロ以上の全ての整数であり、負でない実数はゼロ以上の全ての実数である。

実行列

実行列Aについて、Aが負でないということを、Aのすべての成分が負でない、というふうに定めることができる。このとき、実行列のうちには正とも負とも言えないものもあることになる。また、実行列Aについて、Aの全ての正方部分行列の行列式が負でないとき、Aのことを完全に非負（行列理論）あるいは、完全に正（コンピュータ科学者）と呼ぶことがある。

一方で、線形代数的な観点から、実対称行列やより一般に複素エルミート行列について、上とは異なった正負の概念がしばしば用いられる。エルミート行列Aは、その固有値の全てが負でないときに、負でない（あるいは単に、正である）とよばれる。Aが負でないということはある行列BについてAが B*.Bと書けることと同値になる（行列の定値性も参照）。

関数

符号関数

定義域が実数であり、正数に対して1を、負数に対して−1を、ゼロに対して0を返す関数 sgn(x) を定義できる。この関数は符号関数と呼ばれることがある。

$\operatorname {sgn} (x)=\left\{{\begin{matrix}-1&:x<0\\\;0&:x=0\\\;1&:x>0\end{matrix}}\right.$

このとき（x=0の場合を除き）以下の式が得られる。

$\operatorname {sgn} (x)={\frac {x}{|x|}}={\frac {|x|}{x}}={\frac {d{|x|}}{d{x}}}=2H(x)-1.$

ここで |x| は x の絶対値であり、H(x) はヘヴィサイドの階段関数である。微分法も参照。

複素符号関数

定義域が複素数であり、正数に対して1を、負数に対して-1を、ゼロに対して0を返す csgn(x) を定義できる 。この関数は複素符号関数と呼ばれることがある。

$\operatorname {csgn} (x)=\left\{{\begin{matrix}-1&:x<0\\\;0&:x=0\\\;1&:x>0\end{matrix}}\right.$

複素数の大小は以下のように解釈する。

${\begin{cases}x>0\iff \operatorname {Re} (x)>0\vee (\operatorname {Re} (x)=0\land \operatorname {Im} (x)>0)\\x<0\iff \operatorname {Re} (x)<0\vee (\operatorname {Re} (x)=0\land \operatorname {Im} (x)<0)\\\end{cases}}$

符号付き数の算術演算

加算と減算

数列は、零・正数・負数の三種類が組み合わさって構成されており、基準点が零、基準点から増えている分が正数、基準点から減っている分が負数となる。

従って、加算と減算では、負数は負債であり、正数は収益であると考えることができる。同じく、時間や世代の距離を数える場合にも、零は現在や自分、負数は過去や年上（親や祖父母など）、正数は未来や年下（子供や孫など）であると考えることもできる。

負数を加えることは、対応する正数を減ずることになる。逆に、負数を減ずることは、対応する正数を加えることになる。

9 − 5 = 4

（9歳年下の人物と5歳年下の人物は、4歳離れている。）

7 − (−2) = 9

（7歳年下の人物と2歳年上の人物は、9歳離れている。）

−4 + 12 = 8

（4歳年上の人物から12歳年下の人物は、自分の8歳年下である。）

5 + (−3) = 5 − 3 = 2

（¥5を持っていて¥3を借りたら、純資産は¥2である）

–2 + (−5) = −2 − 5 = −7

減算と負符号の概念の混乱を避けるため、負符号を上付きで書く場合もある（ただし、会計では負符号を△で表現する）。

⁻2 + ⁻5 = ⁻2 − 5 = ⁻7

△2 + △5 = △2 − 5 = △7

正数をより小さな正数から減ずると、結果は負となる。

4 − 6 = −2

（¥4を持っていて¥6を使ったら、負債¥2が残る）

正数を任意の負数から引くと、結果は負となる。

−3 − 6 = −9

（負債が¥3あってさらに¥6を使ったら、負債は¥9となる）

負数を減ずることは、対応する正数を加えることと等価である。

5 − (−2) = 5 + 2 = 7

（純資産¥5を持っていて負債を¥2減らしたら、新たな純資産は¥7となる）

別の例

−8 − (−3) = −5

（負債が¥8あって負債を¥3減らしたら、まだ¥5の負債が残る）

乗算

負数を掛けることは、正負の方向を逆転させることになる。負数に正数を掛けると、積は負数のままとなる。しかし、負数に負数を掛けると、積は正数となる。

(−20) × 3 = −60

（負債¥20を3倍にすれば、負債¥60になる。）

(−40) × (−2) = 80

（後方へ毎時40km進む車は、2時間前には現在地から前方へ80kmの位置にいた。）

これを理解する方法の1つは、正数による乗算を、加算の繰り返しと見なすことである。3 × 2 は各グループが2を含む3つのグループと考える。したがって、3 × 2 = 2 + 2 + 2 = 6 であり、当然 −2 × 3 = (−2) + (−2) + (−2) = −6 である。

負数による乗算も、加算の繰り返しと見なすことができる。例えば、3 × −2は各グループが−2を含む3つのグループと考えられる。

3 × −2 = (−2) + (−2) + (−2) = −6

これは乗算の交換法則を満たすことに注意

3 × −2 = −2 × 3 = −6

「負数による乗算」と同じ解釈を負数に対しても適用すれば、以下のようになる。

−4 × −3	=   − (−4) − (−4) − (−4)
	=  4 + 4 + 4
	=  12

しかし形式的な視点からは、2つの負数の乗算は、積の和に対する分配法則によって直接得られる。

−1 × −1	=  (−1) × (−1) + (−2) + 2
	=  (−1) × (−1) + (−1) × 2 + 2
	=  (−1) × (−1 + 2) + 2
	=  (−1) × 1 + 2
	=  (−1) + 2
	=  1

除算

除算も乗算と同じく、負数で割ることは、正負の方向を逆転させることになる。負数を正数で割ると、商は負数のままとなる。しかし、負数を負数で割ると、商は正数となる。

被除数と除数の符号が異なるなら、商は負数となる。

(−90) ÷ 3 = −30

（負債¥90を3人で分けると、負債¥30ずつ継承される。）

24 ÷ (−4) = −6

（東を正数、西を負数とする場合：4時間後に東へ24km地点に進む車は、4時間前には西へ6kmの位置にいる。）

両方の数が同じ符号を持つなら、商は（両方が負数であっても）正数となる。

(−12) ÷ (−3) = 4

累乗

累乗は乗算や除算と同じく、指数を正数にすると、「n乗」に倍増される。しかし、指数を負数にすると、「1 / n乗」に分割される。つまり、指数 n を正数にすると「n 回乗算を繰り返す」ことになるが、指数 n を負数にすると「n 回除算を繰り返す」ことになる。

3³ = 27

（×3 ×3 ×3 = 27）

3⁻³ = 1/27

（÷3 ÷3 ÷3 = 1/27）

360 × 2³ = 2880

（360 ×2 ×2 ×2 = 2880）

36 × 5⁻¹ = 7.2

（36 ÷5 = 7.2）

負の整数と負でない整数の形式的な構成

有理数の場合と同様、整数を自然数の順序対 (a, b) （これは整数 a − b を表していると考えることができる）を下に述べるようにして同一視したものとして定義することによって自然数の集合Nを整数の集合Zに拡張できる。これらの順序対に対する加法と乗法の拡張は以下の規則による。

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

(a, b) × (c, d) = (a × c + b × d, a × d + b × c)

ここで以下の規則により、これらの順序対に同値関係 ~ を定義する。

(a, b) ~ (c, d) となるのは a + d = b + c なる場合、およびこの場合に限る

この同値関係は上記の加法と乗法の定義と矛盾せず、ZをN²の ~ による商集合として定義できる。すなわち2つの順序対 (a, b) と (c, d) が上記の意味で同値であるとき同一視する。

さらに以下の通り全順序をZに定義できる。

(a, b) ≤ (c, d) となるのは a + d ≤ b + c となる場合、およびこの場合に限る

これにより加法の零元が (a, a) の形式で、(a, b) の加法の逆元が (b, a) の形式で、乗法の単位元が (a + 1, a) の形式で導かれ、減法の定義が以下のように導かれる。

(a, b) − (c, d) = (a + d, b + c).

負の数の起源

長い間、問題に対する負の解は「誤り」であると考えられていた。これは、負数を実世界で見付けることができなかったためである（例えば、負数のリンゴを持つことはできない）。その抽象概念は早ければ紀元前100年 – 紀元前50年には認識されていた。中国の『九章算術』には図の面積を求める方法が含まれている。赤い算木で正の係数を、黒い算木で負の係数を示し、負の数がかかわる連立方程式を解くことができた。紀元後7世紀ごろに書かれた古代インドの『バクシャーリー写本』は"+"を負符号として使い、負の数による計算を行っていた。これらが現在知られている最古の負の数の使用である。

プトレマイオス朝エジプトではディオファントスが3世紀に『算術』で 4x + 20 = 0 （解は負となる）と等価な方程式に言及し、この方程式はばかげていると言っており、古代地中海世界に負数の概念がなかったことを示している。

7世紀の間に、負数はインドで負債を表すために使われていた。インドの数学者ブラーマグプタは『ブラーフマスプタ・シッダーンタ』（628年）において、今日も使われている一般化された形式の解の公式を作るために、負数を使うことについて論じている。彼は二次方程式の負の解を発見し、負数と零が関わる演算に関する規則も与えている。彼は正数を「財産」、零を「0 (cipher)」、負の数を「借金」と呼んだ。12世紀のインドで、バースカラ2世も二次方程式に負の根を与えていたが、問題の文脈では不適切なものとして負の根を拒絶している。

8世紀以降、イスラム世界はブラーマグプタの著書のアラビア語訳から負の数を学び、紀元1000年頃までには、アラブの数学者は負債に負の数を使うことを理解していた。

負の数の知識は、最終的にアラビア語とインド語の著書のラテン語訳を通してヨーロッパに到達した。

しかし、ヨーロッパの数学者はそのほとんどが、17世紀まで負数の概念に抵抗を見せた。ただしフィボナッチは、『算盤の書』（1202年）の第13章で負数を負債と解釈し、後には『精華』で損失と解釈して金融問題に負の解を認めた。同時に、中国人は右端のゼロでない桁に斜線を引くことによって負数を表した。ヨーロッパ人の著書で負数が使われたのは、15世紀中のシュケによるものが最初であった。彼は負数を指数として使ったが、「馬鹿げた数」であると呼んだ。

イギリスの数学者フランシス・マセレス[2]は1759年、負数は存在しないという結論に達した。

負数は現代まで十分に理解されていなかった。つい18世紀まで、スイスの数学者レオンハルト・オイラーは負数が無限大より大きいと信じており（この見解はジョン・ウォリスと共通である）、方程式が返すあらゆる負の解を意味がないものとして無視することが普通だった。負数が無限大より大きいという論拠は、${\frac {1}{x}}$ の商と、x が正の側から x = 0 の点に近づき、交差した時何が起きるかの考察によって生じている。

関連項目

• プラス記号とマイナス記号
• 符号付数値表現：負の二進数と負でない二進数
• ゼロの発見
• −0

外部リンク

• BBC Radio 4 series "In Our Time", on Negative Numbers, March 9, 2006（英語）
• Endless Examples & Exercises: Operations With Signed Integers（英語）
• Math Forum: Ask Dr. Math FAQ: Negative Times a Negative（英語）