代数的定式化と複シャッフル関係式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/03 14:24 UTC 版)
「多重ゼータ値」の記事における「代数的定式化と複シャッフル関係式」の解説
H = Q ⟨ x , y ⟩ {\displaystyle {\mathfrak {H}}=\mathbb {Q} \langle x,y\rangle } を有理係数非可換二変数多項式環とし、 H 1 = Q + y H {\displaystyle {\mathfrak {H}}^{1}=\mathbb {Q} +y{\mathfrak {H}}} 、 H 0 = Q + y H x {\displaystyle {\mathfrak {H}}^{0}=\mathbb {Q} +y{\mathfrak {H}}x} をその部分代数とする。 H 1 {\displaystyle {\mathfrak {H}}^{1}} の (定数でない) 単項式は正整数 k1, ... ,kr を用いて yxk1-1 … yxkr-1 と書けるため、これらはインデックスと一対一に対応する ( H 0 {\displaystyle {\mathfrak {H}}^{0}} の単項式は許容インデックスに対応する。)。この対応関係を線形に拡張した写像を I : H 1 → R {\displaystyle I:{\mathfrak {H}}^{1}\to \mathbb {R} } と書く。また、 Z ( 1 ) = 1 {\displaystyle Z(1)=1} Z ( y x k 1 − 1 ⋯ y x k r − 1 ) = ζ ( k 1 , … , k r ) {\displaystyle Z(yx^{k_{1}-1}\cdots yx^{k_{r}-1})=\zeta (k_{1},\ldots ,k_{r})} を線形に拡張してできる写像 Z : H 0 → R {\displaystyle Z:{\mathfrak {H}}^{0}\to \mathbb {R} } を evalutation map という。 次の規則で H 1 {\displaystyle {\mathfrak {H}}^{1}} 上に双線形な積 ∗ を導入する w ∈ H 1 {\displaystyle w\in {\mathfrak {H}}^{1}} に対し 1 ∗ w = w ∗ 1 = w 正整数 k, l と w 1 , w 2 ∈ H 1 {\displaystyle w_{1},w_{2}\in {\mathfrak {H}}^{1}} に対し w1yxk-1 ∗ w2yxl-1 = (w1 ∗ w2yxl-1)yxk-1 + (w1yxk-1 ∗ w2)yxl-1 + (w1 ∗ w2)yxk+l-1 この積を調和積 (harmonic product) という。このとき evaluation map Z が調和積を入れて考えた代数 H 0 {\displaystyle {\mathfrak {H}}^{0}} から R への群準同型になっているという事実を調和関係式 (harmonic relation) という。 同様にして、 H {\displaystyle {\mathfrak {H}}} 上に双線形な積 ш を導入する: w ∈ H {\displaystyle w\in {\mathfrak {H}}} に対し 1 ш w = w ш 1 = w u 1 , u 2 ∈ { x , y } {\displaystyle u_{1},u_{2}\in \{x,y\}} と w 1 , w 2 ∈ H {\displaystyle w_{1},w_{2}\in {\mathfrak {H}}} に対し u1w1 ш u2w2 = u1(w1 ш u2w2) + u2(u1w1 ш w2) この積をシャッフル積 (shuffle product) という。このとき evaluation map Z がシャッフル積を入れて考えた代数 H 0 {\displaystyle {\mathfrak {H}}^{0}} から R への群準同型になっているという事実をシャッフル関係式 (shuffle relation) という。 二つの多重ゼータ値の積を調和関係式とシャッフル関係式の二つを用いて展開し、比較することで多重ゼータ値の線形関係式が得られる。これを有限複シャッフル関係式 (finite double shuffle relation) という。 調和積とシャッフル積のいずれかを積として考えた代数において、 H 1 {\displaystyle {\mathfrak {H}}^{1}} が多項式環 H 0 [ y ] {\displaystyle {\mathfrak {H}}^{0}[y]} に同型であるという事実が証明されている。このことを用いて、 H 1 {\displaystyle {\mathfrak {H}}^{1}} の単項式を y の多項式として表示したときの定数項を取り出す写像 (を線形に拡張したもの) を、使う積の種類に応じてそれぞれ reg∗, regш と書く。このとき調和関係式、シャッフル関係式において H 0 {\displaystyle {\mathfrak {H}}^{0}} を H 1 {\displaystyle {\mathfrak {H}}^{1}} に、 Z {\displaystyle Z} を Z ∘ r e g {\displaystyle Z\circ \mathrm {reg} } に置き換えても同様の事実が成り立つ。そうして得られる関係式を正規化複シャッフル関係式 (regularized double shuffle relation) という。
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