多項式環
多項式環
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/11 14:00 UTC 版)
詳細は「多項式環」を参照 (R, +R, ·R) を環とし、R 上の実質有限列（有限個の例外を除く全ての項が 0 となるような無限列）の全体を S = { ( f i ) i ∈ N : f i ∈ R and f i = 0 for all but finitely many i ∈ N } {\displaystyle S=\{{(f_{i})}_{i\in \mathbb {N} }:f_{i}\in R{\text{ and }}f_{i}=0{\text{ for all but finitely many }}i\in \mathbb {N} \}} とおく。ただし、ここでは非負整数（特に 0 を含む）の意味で N を用いているものと約束する。S の演算 +S : S × S → S および ·S : S × S → S を、a = (ai)i∈N および b = (bi)i∈N を S の任意の元として、 a + S b = ( a i + R b i ) i ∈ N a ⋅ S b = ( ∑ j = 0 i a j ⋅ R b i − j ) i ∈ N {\displaystyle {\begin{aligned}a+_{S}b&=(a_{i}+_{R}b_{i})_{i\in \mathbb {N} }\\a\cdot _{S}b&={\Bigl (}\sum _{j=0}^{i}a_{j}\cdot _{R}b_{i-j}{\Bigr )}_{i\in \mathbb {N} }\end{aligned}}} と定めると、(S, +S, ·S) は環となる。これを環 R 上の多項式環と呼ぶ。 S の元 (0, 1, 0, 0, …) を X とすれば、多項式環としての S は R[X] と書くのが通例である。これにより、S の元 f = (fi) は f = ∑ c ∈ C f c ⋅ S X c , C = { i ∈ N : f i ≠ 0 } {\displaystyle f=\sum _{c\in C}f_{c}\cdot _{S}X^{c},\quad C=\{i\in \mathbb {N} :f_{i}\neq 0\}} と R に係数を持つ多項式の形に書ける。従って S は R 上の X を不定元とする多項式全体に、標準的なやり方で加法と乗法を定義したものと見なすことができる。通常はこれを同一視して、ここでいう S を R[X] と書いて、R における演算も S における演算も特に識別のための符牒を省略する。
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多項式環
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/07 10:15 UTC 版)
詳細は「多項式」を参照 n 次の自由 K –加群（K が体のときには n 次元のベクトル空間）Kn の対称代数は K を係数とする n 変数の多項式環 K [X 1,..., Xn ] と見なせる。
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