多項式環の普遍性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/07/22 09:36 UTC 版)
環上の多変数多項式環は、「もっとも一般」の有限生成可換多元環である。すなわち以下の普遍性が成り立つ: 普遍性 可換環 R 上の可換 R 多元環 φ : R → A とその元 x1, …, xn ∈ A に対して、多項式環 R[X1, …, Xn] から A への環準同型 ~φ で ~φ|R = φ と ~φ(Xi) = xi (i = 1, …, n) を満たすものがただ一つ存在する。 したがって特に、環 R 上の多元環 A が R 上有限生成ならば、A は R 上適当な階数の多項式環の準同型像である。この意味において、多項式環は（与えられた集合を不定元の集合とする）自由可換多元環（可換多元環の圏における自由対象（英語版））を与える。特に（R = Z を有理整数環とするとき、任意の環は Z-多元環と見なせるから）、整係数多項式環 Z[X1, …, Xn] は自由可換環である。
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