環上の多変数多項式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/07/22 09:36 UTC 版)
体 K に係数を持つ n-変数 X1, …, Xn に関する多項式は一変数の多項式と同様にして定義される（特に n = 1 のときは一変数多項式に他ならない）が、この概念は少々ややこしい。任意の多重添字 α := (α1, …, αn) で各 αi が非負整数とするとき X α = ∏ i = 1 n X i α i = X 1 α 1 ⋯ X n α n ( p α = p α 1 … α n ∈ K ) {\displaystyle X^{\alpha }=\prod _{i=1}^{n}X_{i}^{\alpha _{i}}=X_{1}^{\alpha _{1}}\cdots X_{n}^{\alpha _{n}}\quad (p_{\alpha }=p_{\alpha _{1}\ldots \alpha _{n}}\in \mathbb {K} )} と置く。積 Xα を多重次数 α の単項式と呼ぶ。（多変数の）多項式は K に係数を持つ単項式の線型結合 p = ∑ α p α X α {\textstyle p=\sum _{\alpha }p_{\alpha }X^{\alpha }} で、有限個の係数 pα だけが零でないようなものをいう。 単項式 Xα の（全）次数 (degree) はしばしば |α|で表され、 | α | = ∑ i = 1 n α i {\textstyle |\alpha |=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}} と定義される。多項式 p の次数は p の式に現れる係数が零でない単項式の最大次数で与えられる。 これらのことは、係数体 K を任意の可換環 R に取り換えても構わない。可換環 R に係数を持つ n-変数多項式の全体 R[X1, …, Xn] は可換環を成し、n-変数多項式環と呼ぶ（X := (X1, …, Xn) として、R[X] と書くこともある）。変数の個数 n を特に固定しない場合は多変数多項式環と総称され、対照的に n-変数多項式環のことを階数（自由階数） n の（多変数）多項式環とも呼ぶ。多変数多項式環は一変数多項式環を作る構成を R[X1, …, Xn−1][Xn] と帰納的に繰り返すことによって得ることもできる。例えば K[X, Y] ≅ K[X][Y] (≅ K[Y][X]) は自然同型である。
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