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多変数多項式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/11/04 16:50 UTC 版)

代数学における適当な単位的可換環 $A$ に係数を持つ多変数多項式（たへんすうたこうしき、英: multivariable polynomial; multivariate polynomial, 仏: polynôme en plusieurs indéterminées, 多元多項式）は、不定元 $X$ に関する一変数多項式環 $A [X]$ を一般化する $A$ -結合多元環の元を言う。有限個の不定元に関する多項式環 $A [X 1, \dots, X n]$ は $n$ に関して帰納的に構成できる。すなわち、この多項式環は、一つの不定元 $X n$ の多項式環 $A [X 1, \dots, X n -1]$ に係数を持つ多項式全体の成す環である。任意の添字集合 $I$ （無限集合でもよい）で添字付けられた任意個数の不定元 $X i (i \in I)$ に関する多項式環 $A [(X i) i \in I]$ は、 $I$ の任意の有限部分集合 $J$ に対する多項式環 $A [(X i) i \in J]$ を亙る「合併」として定義される。より精確には、 $I$ が有限でも無限でも、 $A [(X i) i \in I]$ はモノイド環として定義できる。それはつまり、モニック単項式（つまり有限個の不定元 $X i$ からなる冪積）全体の成すモノイドを考え、それら単項式の $A$ -係数の形式線型結合として多項式は定義されるということである。

以下本項では、 $A$ は単位的可換環とし、 $A$ -多元環は結合的かつ単位的な多元環を意味するものとする。

帰納的構成

有限変数の帰納的構成

$n$ 変数の $A$ -係数多項式環 $A [X 1, \dots, X n]$ は $n$ に関して帰納的に定義される^{[注釈 1]} :

$0$ 個の不定元に関する $A$ -係数多項式環とは、単に $A$ それ自身のこととする。
$n > 1$ に対し、 $A [X 1, \dots, X n]$ は、係数環 $B$ がひとつ前のステップで構成済みの多項式環 $A [X 1, \dots, X n -1]$ となっている多項式環 $B [X n]$ である。