多項式の根

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多項式の根

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/01/11 07:55 UTC 版)

数学における多項式 P(X) の根（こん、英: root）は、P(α) = 0 を満たす値 α を言う。すなわち、根は未知数 x の多項式方程式 P(x) = 0 の解であり、また対応する多項式函数の零点である。例えば、多項式 X² − X の根は 0 および 1 となる。

ある体に係数を持つ非零多項式は、「より大きい」体の中にしか根を持たないこともあるが、根の数はその多項式の次数より多くなることはない。例えば X² − 2 は次数 2 で有理数係数だが、有理根を持たず、二つの根を実数体 R に（したがって 複素数体 C の中に）おいて持つ。ダランベール–ガウスの定理は次数 n の任意の複素係数多項式が（必ずしも異ならない）n 個の根を持つことを述べるものである。

多項式の根の概念は、多変数多項式の零点の概念に一般化される^[1]。

定義

以下、不定元 X に関する多項式 P(X) は適当な体あるいはより一般に可換環 A に係数を持つものとする（実際に現れる係数はしたがってその適当な部分環に属している）。

定義 (多項式の根)^[1][2]

多項式 P の A における根とは、A の元 α であって、不定元 X にその値 α を代入するとき、P(α) が A において零元となるものを言う。

したがって、多項式 X² – 2 は、有理数体 Q に（また R または C に）係数を持ち、有理数体 Q における根は持たないが R に（したがって C に）二つの根（つまり、2の平方根 ${\textstyle {\sqrt {2}}}$

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