多項式の割り算とガロワ理論
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/18 03:21 UTC 版)
「合同算術」の記事における「多項式の割り算とガロワ理論」の解説
詳細は「多項式の算術（フランス語版）」および「ガロワ理論」を参照 可換体に係数を持つ多項式環は、除法（英語版、フランス語版）が可能であるから、合同算術を考えることができる。ガロワ理論の出発点は多項式を既約多項式（これが数の場合の素数に相当）で割った合同類の集合を体系的に扱うことにある。これら集合は今日では代数拡大と呼ばれる。 これら拡大により代数方程式（つまり、多項式の等式として書かれる方程式）の可解性が調べられるようになる。与えられた多項式が既約ならば、それを法とする合同類の集合は少なくとも一つその多項式の根を含む体を成す。これを根体と呼ぶ。これを繰り返して与えられた多項式の根をすべて含む体（分解体）が構成できる。合同に関する商を考える論法はこの問題に適した代数的構造を与えるのである。 ガロワ理論では他に様々な概念を利用する。方程式の可解性は、ガロワ対応と呼ばれる部分体と部分群の間の対応により、ガロワ群と呼ばれる体の自己同型群の研究を通じて調べられる。代数方程式の可解性の研究に留まらず、ガロワ理論は算術、数論幾何学（フランス語版）や代数幾何学の様々な問題の解法の自然な一部を成し、また時にそういった様々な領域における新しい広汎な問題の定式化をもたらした。 同様の理論をより一般のユークリッド環の商の概念を用いて記述するとき、合同算術の特定の道具からの繋がりにおいて、本項の主題とは大きく異なる別の領域が生じてくる。このような理論の成果の一つが、ガロワ体とも呼ばれる有限体であり、これは合同算術の様々な応用において自然な設定を与える。
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