問題の定式化とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

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問題の定式化

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/12/10 03:40 UTC 版)

「開平法」の記事における「問題の定式化」の解説

与えられた √x (x > 0) に対し、10k の位 ak (k ≤ n) を求める： x = ∑ k ≤ n 10 k a k = 10 n a n + 10 n − 1 a n − 1 + ⋯ + 10 2 a 2 + 10 a 1 + a 0 + 10 − 1 a − 1 + 10 − 2 a − 2 + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {x}}&=\sum _{k\leq n}10^{k}a_{k}\\&=10^{n}a_{n}+10^{n-1}a_{n-1}+\cdots +10^{2}a_{2}+10a_{1}+a_{0}+10^{-1}a_{-1}+10^{-2}a_{-2}+\cdots \end{aligned}}} x の首位を an とする。つまり、n は √x < 10k+1 を満たす最小の k とする。また便宜上 ak = 0 (k > n) とする。 √x の 10m の位より上（かみ）の位 pm は分かっているとし、10m の位 am を求めるとする。すなわち p m = ∑ k = m + 1 n 10 k − m − 1 a k = 10 n − m − 1 a n + 10 n − m − 2 a n − 1 + ⋯ + 10 a m + 2 + a m + 1 {\displaystyle p_{m}=\sum _{k=m +1}^{n}10^{k-m-1}a_{k}=10^{n-m-1}a_{n}+10^{n-m-2}a_{n-1}+\cdots +10a_{m+2}+a_{m+1}} とおく。 am は 10m+1pm + 10mam ≤ √xを満たす最大の am、すなわち (20pm + am)am ≤ 10−2mx − 100pm2 … (1) を満たす最大の am である。これを見つける。 am の値は 0 から 9 までの 10 通りなので、順に試していけば am は求まる。 m = n のとき、pn = 0 よりan2 ≤ 10−2nx m < n のとき、20pmam ≤ (20pm + am)am ≤ 10−2mx − 100pm2 pm ≠ 0 より a m ≤ 10 − 2 m x − 100 p m 2 20 p m {\displaystyle a_{m}\leq {\frac {10^{-2m}x-100{p_{m}}^{2}}{20p_{m}}}} 右辺の計算値により、am の値の見当を付けることができる。これにより am が求まれば、 pm−1 = 10pm + am の値が分かるから、 (20pm−1 + am−1)am−1 ≤ 10−2(m−1)x − 100pm−12 を満たす最大の am−1 を見つければよい。このようにして、帰納的に ak (k ≤ n) の値が求まる。

※この「問題の定式化」の解説は、「開平法」の解説の一部です。
「問題の定式化」を含む「開平法」の記事については、「開平法」の概要を参照ください。

問題の定式化

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/01/26 14:12 UTC 版)

「マートンのポートフォリオ問題」の記事における「問題の定式化」の解説

以下ではMerton & (1971)の記述に基づく。時点 t {\displaystyle t} における株式の価格を S t {\displaystyle S_{t}} 、債券の価格を B t {\displaystyle B_{t}} とする。株式価格は以下の確率微分方程式に従うとする。 d S t = μ S t d t + σ S t d W t {\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}dt+\sigma S_{t}dW_{t}} ここで μ {\displaystyle \mu } と σ > 0 {\displaystyle \sigma >0} は定数のパラメーターであり、 W t {\displaystyle W_{t}} はブラウン運動である。つまり株式価格は幾何ブラウン運動に従う。債券価格は次のように表されるとする。 B t = B 0 exp ⁡ { r t } {\displaystyle B_{t}=B_{0}\exp\{rt\}} ここで r {\displaystyle r} は時間を通じて一定の安全利子率である。よってブラック＝ショールズモデルと同様の設定になっている。さらに投資家の時点 t {\displaystyle t} における資産額を X t {\displaystyle X_{t}} で表す。また時点 t {\displaystyle t} における、投資家の株式への投資比率を α t {\displaystyle \alpha _{t}} とする。よって投資家は各時点において α t X t {\displaystyle \alpha _{t}X_{t}} ドルを株式に投資し、 ( 1 − α t ) X t {\displaystyle (1-\alpha _{t})X_{t}} ドルを債券に投資する。投資家の資産額は次の確率微分方程式に従う。 d X t = α t X t d S t S t + ( 1 − α t ) X t d B t B t − c t d t = ( ( ( μ − r ) α t + r ) X t − c t ) d t + α t X t σ d W t {\displaystyle dX_{t}=\alpha _{t}X_{t}{\frac {dS_{t}}{S_{t}}}+(1-\alpha _{t})X_{t}{\frac {dB_{t}}{B_{t}}}-c_{t}dt={\Big (}((\mu -r)\alpha _{t}+r)X_{t}-c_{t}{\Big )}dt+\alpha _{t}X_{t}\sigma dW_{t}} ここで c t {\displaystyle c_{t}} は投資家の時点 t {\displaystyle t} における消費額である。よりヒューリスティックな説明をすれば、 α t X t S t {\displaystyle {\frac {\alpha _{t}X_{t}}{S_{t}}}} と ( 1 − α t ) X t B t {\displaystyle {\frac {(1-\alpha _{t})X_{t}}{B_{t}}}} がそれぞれ株式と債券の保有単位数を表しているので、 t {\displaystyle t} 時点における資産額の瞬間的増分が α t X t d S t S t + ( 1 − α t ) X t d B t B t {\displaystyle \alpha _{t}X_{t}{\frac {dS_{t}}{S_{t}}}+(1-\alpha _{t})X_{t}{\frac {dB_{t}}{B_{t}}}} で表され、そこから消費に使用する分の額 c t {\displaystyle c_{t}} を引いたものが最終的な資産額の瞬間的な増減の量になる。投資家は次の時点 t {\displaystyle t} から T > t {\displaystyle T>t} までの期待効用最大化問題に直面しているとする。 V ( t , x ) = max α , c E t , x [ ∫ t T e − ρ s u ( c s ) d t + e − ρ T u ( X T ) ] {\displaystyle V(t,x)=\max _{\alpha ,c}E_{t,x}\left[\int _{t}^{T}e^{-\rho s}u(c_{s})dt+e^{-\rho T}u(X_{T})\right]} subject to d X s = ( ( ( μ − r ) α s + r ) X s − c s ) d s + α s X s σ d W s , {\displaystyle {\mbox{subject to }}dX_{s}={\Big (}((\mu -r)\alpha _{s}+r)X_{s}-c_{s}{\Big )}ds+\alpha _{s}X_{s}\sigma dW_{s},} X t = x {\displaystyle X_{t}=x} ただし、 ρ > 0 {\displaystyle \rho >0} は定数の割引パラメーターで、効用関数 u ( c ) {\displaystyle u(c)} はCRRA型効用関数である。つまり u ( c ) = { c 1 − γ 1 − γ γ ≠ 1 , γ > 0 log ⁡ ( c ) γ = 1 {\displaystyle u(c)={\begin{cases}{\dfrac {c^{1-\gamma }}{1-\gamma }}&\gamma \neq 1,\gamma >0\\\log (c)&\gamma =1\end{cases}}} である。