開平法

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開平法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/12/13 03:32 UTC 版)

開平法（かいへいほう、英: extraction of square root）とは、正の数の平方根の小数表示を求めていくアルゴリズムである。開平や開平算、開平計算とも。平方根を求めることを開平するという。開法の一種。

開平法の原理

与えられた正の数の正の平方根の小数表示を求めるために、ここではまず漸化式を立てて、一般的な求値法を求める。そして、求値の明確化のために、開平法と呼ばれる筆算の原理を導出する。以下は十進法表示の場合だが、他の位取り記数法でも同様な計算で求められる。ここで述べるのと基本的には同じ方法で、立方根を求める開立法や、もっと一般に n 乗根を求めることも可能である。

問題の定式化

与えられた √x (x > 0) に対し、10^k の位 a_k (k ≤ n) を求める：

${\begin{aligned}{\sqrt {x}}&=\textstyle \sum \limits _{k\leq n}10^{k}a_{k}\\&=10^{n}a_{n}+10^{n-1}a_{n-1}+\cdots +10^{2}a_{2}+10a_{1}+a_{0}+10^{-1}a_{-1}+10^{-2}a_{-2}+\cdots \end{aligned}}$

正方形ABCD の面積は 10^−2mx, 青い正方形の面積は 100p_m² で、橙色と桃色の部分の面積の和が (20p_m + a_m)a_m = r_m である。p_m の値はすでに決まっていて、a_m をどこまで大きく取れるのかが問題である。

a_m は 10^m+1p_m + 10^ma_m ≤ √x を満たす最大の a_m、すなわち

(20p_m + a_m)a_m ≤ 10^−2mx − 100p_m² … (1)

を満たす最大の a_m である。これを見つける。

a_m の値は 0 から 9 までの 10 通りなので、順に試していけば a_m は求まる。

m = n のとき、p_n = 0 より

a_n² ≤ 10⁻²ⁿx

m < n のとき、

20p_ma_m ≤ (20p_m + a_m)a_m ≤ 10^−2mx − 100p_m²

p_m ≠ 0 より

$a_{m}\leq {\frac {10^{-2m}x-100{p_{m}}^{2}}{20p_{m}}}$ 平方の一の位から左へ2桁ずつ区分して、根の桁数が2桁であることを調べる。（根の定位による） 最後の区分された数 42 に含まれている平方根 6 を求めて、初根 6 を置き、初根 6 の 2 乗 (6² = 36) を 42 から引く。 初根 6 の 2 倍の 12 を、左に置き、その 12 で残りの平方を割って、次根 5 を初根の隣りに置く。 次根 5 の 2 乗 (5² = 25) を引く。 平方根は 65 である。

半九九法

例：√4225 = 65

	平方の一の位から左へ2桁ずつ区分して、根の桁数が2桁であることを調べる。（根の定位による）
	最後の区分された数 42 に含まれている平方根 6 を求めて、初根 6 を置き、初根 6 の 2 乗 (62 = 36) を 42 から引く。
	残りの平方 625 を 2 で割る。（初根の 2 乗を引いたあと、いつも残りの平方を 2 で割る）
	2 で割った平方の残りを、初根 6 で割って次根 5 を求める。
	次根 5 の半九九 12.5 を引く。
	平方根は 65 である。

関連項目

• ネイピアの骨 - ネイピアの骨を使った場合の開平法
• 開立法