開平法

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開平法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/12/13 03:32 UTC 版)

開平法（かいへいほう、英: extraction of square root）とは、正の数の平方根の小数表示を求めていくアルゴリズムである。開平や開平算、開平計算とも。平方根を求めることを開平するという。開法の一種。

開平法の原理

与えられた正の数の正の平方根の小数表示を求めるために、ここではまず漸化式を立てて、一般的な求値法を求める。そして、求値の明確化のために、開平法と呼ばれる筆算の原理を導出する。以下は十進法表示の場合だが、他の位取り記数法でも同様な計算で求められる。ここで述べるのと基本的には同じ方法で、立方根を求める開立法や、もっと一般に n 乗根を求めることも可能である。

問題の定式化

与えられた √x (x > 0) に対し、10^k の位 a_k (k ≤ n) を求める：

${\begin{aligned}{\sqrt {x}}&=\textstyle \sum \limits _{k\leq n}10^{k}a_{k}\\&=10^{n}a_{n}+10^{n-1}a_{n-1}+\cdots +10^{2}a_{2}+10a_{1}+a_{0}+10^{-1}a_{-1}+10^{-2}a_{-2}+\cdots \end{aligned}}$

正方形ABCD の面積は 10^−2mx, 青い正方形の面積は 100p_m² で、橙色と桃色の部分の面積の和が (20p_m + a_m)a_m = r_m である。p_m の値はすでに決まっていて、a_m をどこまで大きく取れるのかが問題である。

a_m は 10^m+1p_m + 10^ma_m ≤ √x を満たす最大の a_m、すなわち

(20p_m + a_m)a_m ≤ 10^−2mx − 100p_m² … (1)

を満たす最大の a_m である。これを見つける。

a_m の値は 0 から 9 までの 10 通りなので、順に試していけば a_m は求まる。

m = n のとき、p_n = 0 より

a_n² ≤ 10⁻²ⁿx

m < n のとき、

20p_ma_m ≤ (20p_m + a_m)a_m ≤ 10^−2mx − 100p_m²

p_m ≠ 0 より

$a_{m}\leq {\frac {10^{-2m}x-100{p_{m}}^{2}}{20p_{m}}}$ 平方の一の位から左へ2桁ずつ区分して、根の桁数が2桁であることを調べる。（根の定位による） 最後の区分された数 42 に含まれている平方根 6 を求めて、初根 6 を置き、初根 6 の 2 乗 (6² = 36) を 42 から引く。 初根 6 の 2 倍の 12 を、左に置き、その 12 で残りの平方を割って、次根 5 を初根の隣りに置く。 次根 5 の 2 乗 (5² = 25) を引く。 平方根は 65 である。

半九九法

例：√4225 = 65

	平方の一の位から左へ2桁ずつ区分して、根の桁数が2桁であることを調べる。（根の定位による）
	最後の区分された数 42 に含まれている平方根 6 を求めて、初根 6 を置き、初根 6 の 2 乗 (62 = 36) を 42 から引く。
	残りの平方 625 を 2 で割る。（初根の 2 乗を引いたあと、いつも残りの平方を 2 で割る）
	2 で割った平方の残りを、初根 6 で割って次根 5 を求める。
	次根 5 の半九九 12.5 を引く。
	平方根は 65 である。

関連項目

• ネイピアの骨 - ネイピアの骨を使った場合の開平法
• 開立法

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開平法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/12/23 00:17 UTC 版)

「籌算」の記事における「開平法」の解説

籌算による開平計算のアルゴリズムは開方術として『九章算術』に記載されており、いくらか用語は異なるが『孫子算経』にも記述がある。 『孫子算経』中巻第19問に平方根の近似値 234567 ≈ 484 311 968 を求める問題がある。 今有積二十三萬四千五百六十七步。問：為方幾何？答曰：四百八十四步九百六十 八分步之三百一十一。 孫子算經. - ウィキソース. この計算アルゴリズムを以下に示す。 (1) 算盤の2段目（実（實））に数234567を作る。4段目（下法）の10000の位に1を置く。 商 実 方法 下法 (2) 平方根の1桁までを400と見積もり、1段目（商）の100の位に4を置く。商と下方の積 1 × 4 = 4 を取り、3段目（方法）に書く。 商 実 方法 下法 (3) 実の「23」から商と方法の積 4 × 4 = 16 を差し引き、 23 − 16 = 7 を残す。 商 実 方法 下法 (4) 方法の4を2倍にして、1桁ぶん右に動かす（縦式を横式に変える）。次に下法を2桁ぶん右に動かす。 商 実 方法 下法 (5) 平方根の2桁目を8と見積もり、商の10の位に8を置く。次に、今加わった桁の「8」と下方1との積を取り、方法に加える。 商 実 方法 下法 (6) 方法第1桁の「8」に第2桁の「8」をかけ、その積を実の「74」から差し引く。その結果 74 − 8 × 8 = 10 が実に残る。 商 実 方法 下法 (7) 次に、方法第2桁の「8」を自乗したものを、実の「105」から差し引く。その結果 105 − 8 × 8 = 41 が実に残る。 商 実 方法 下法 (8) 方法88の最終桁「8」を2倍して、最終桁を除いた「80」に加える。方法は 80 + 8 × 2 = 96 となる。 商 実 方法 下法 (9) 方法を右に1桁ぶん移す。次に、下法を右に2桁ぶん移す。 商 実 方法 下法 (10) 平方根の3桁目を4と見積もり、商に記す。次に、今加わった4と下方1との積を取り、方法に加えて964とする。 商 実 方法 下法 (11) 方法の第1桁の9に第3桁の4をかけて、その積を実の「41」から差し引く。その結果 41 − 9 × 4 = 5 が実に残る。 商 実 方法 下法 (12) 続いて、方法の第2桁の6に第3桁の4をかけて、その積を実の「56」から差し引く。その結果 56 − 6 × 4 = 32 が実に残る。 商 実 方法 下法 (13) さらに、方法の第3桁の4を自乗したものを実の「27」から差し引く。その結果 27 − 4 × 4 = 11 が実に残る。 商 実 方法 下法 (14) 方法の第3桁の4を2倍して、第3桁を除いた960に加え、968とする。 商 実 方法 下法 最後に残った商の484、実の311、方法の968は、求める平方根 234567 ≈ 484 311 968 を表している。 北宋の数学者賈憲（中国語版）は、開平計算の途中で「方法」を2倍する代わりに、効果は変わらないが「商」の1桁を「方法」に加えるアルゴリズムを発展させた。