ベルトランによる問題の定式化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/11 11:39 UTC 版)
「ベルトランの逆説」の記事における「ベルトランによる問題の定式化」の解説
ベルトランのパラドックスは以下のようなものである。 「円に内接する正三角形を考える。その円の弦を1本無作為に選ぶ。その弦が正三角形の辺よりも長くなる確率はどれだけか？」 ベルトランはこれに関して3つの主張を述べた。どれももっともらしく見えるが、結果は異なるものとなる。 弦の選び方1：赤は正三角形の1辺より長く、青は短い 「無作為な端点」方式円周上の2点を無作為に選び、それらを結ぶ弦を考える。問題の確率を計算するために、正三角形を回転させ、1つの頂点が選ばれた点の1つに一致するようにする。もしもう一方の端点が、正三角形の他の2頂点を結んだ弧の上にあれば、弦は正三角形の1辺よりも長いことが分かる。この弧の長さは円周の3分の1なので、求める確率は3分の1である。 弦の選び方2 「無作為な半径」方式円の半径を1本無作為に選び、さらにその上の1点を無作為に選んで、選ばれた点を通り選ばれた半径に垂直な弦を考える。問題の確率を計算するために、正三角形を回転させ、1辺が半径に垂直になるようにする。選ばれた点が、辺と半径との交点より中心に近ければ、弦は1辺より長い。この辺は半径の中点を通るので、求める確率は2分の1である。 弦の選び方3 「無作為な中点」方式円の内部の点を無作為に選び、それが中点となるような弦を考える。もし選ばれた点が、与えられた円と中心が同じで、半径がその2分の1である円の内側にあれば、弦は正三角形の1辺より長い。従って、求める確率は4分の1である。 これらの方式は以下のような図で表される。弦は中点と（中点が円の中心である場合を除き）1対1に対応する。上に記した3つの選択方式は以下のような中点の分布を示す。方式1と2では一様でなく、方式3では一様な分布となる。一方、弦自体を描いた場合（下段）、方式2では円が視覚的に一様に塗り潰されているのに対し、方式1と3はそうではない。 もちろん、弦を選ぶための他の方式も容易に想像することができ、異なる確率を与えるものも多い。
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