多項式としての解釈とは? わかりやすく解説

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多項式としての解釈

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2019/02/11 00:01 UTC 版)

対称代数」の記事における「多項式としての解釈」の解説

ベクトル空間 V が与えられたとき、V 上の多項式函数全体対称代数の「双対空間 S(V∗) であり、V 上で定義される多項式函数の V のベクトルにおける値の「評価」は、内積 (pairing) S(V∗) × V → K を通じて与えられる例えば、平面 K2 とその基底与えられたとき、K2 上の(斉)一次多項式函数全体は、座標汎函数英語版) x, y で生成される。これら座標汎函数は、たとえば x ( 2 , 3 ) = 2 , y ( 2 , 3 ) = 3 {\displaystyle x(2,3)=2,y(2,3)=3} のようにベクトル与えられればその各座標を値として返す余ベクトル双対ベクトル)である。高次単項式様々な対称冪の元であり、一般多項式対称代数元になる。ベクトル空間基底定めない場合同様だが、その場得られるのは基底定めない多項式環である。 一方ベクトル空間上の対称代数自体は、V 「上の多項式函数として解釈することはできない(S(V) と V の間に自然な内積は無いから、ベクトル空間対称代数の元のその空間ベクトルにおける値を評価することはできない)が、v2vw + uv のようなベクトルベクトル空間内の多項式だと解釈することはできる。

※この「多項式としての解釈」の解説は、「対称代数」の解説の一部です。
「多項式としての解釈」を含む「対称代数」の記事については、「対称代数」の概要を参照ください。

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