多項対称差
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/24 14:24 UTC 版)
対称差は結合法則と交換法則を満たすので、n個の集合A0…An-1の対称差A0△…△An-1=(…(A0△A1)△…△An-1)は順番に依らない。このことから対称差はより一般に（各元における重複度が有限であるような）集合族 { A λ } λ ∈ Λ {\displaystyle \{A_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }} に対し以下のように拡張できる。 △ λ ∈ Λ A λ = { a ∈ ⋃ λ ∈ Λ A λ : | { λ ∈ Λ : a ∈ A λ } | が 奇 数 } {\displaystyle \triangle _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }=\left\{a\in \bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }:|\{\lambda \in \Lambda :a\in A_{\lambda }\}|{\mbox{ が 奇 数 }}\right\}} . 上記のような集合族について Λ {\displaystyle \Lambda } 及び各 A λ {\displaystyle A_{\lambda }} がともに有限集合であるとき、対称差の濃度について以下のような公式が成り立つ（和集合の場合にも同様の公式が成り立つ）。 | △ λ ∈ Λ A λ | = ∑ M ⊂ Λ ( − 2 ) | M | − 1 | ⋂ λ ∈ M A λ | {\displaystyle |\triangle _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }|=\sum _{\mathrm {M} \subset \Lambda }(-2)^{|\mathrm {M} |-1}|\bigcap _{\lambda \in \mathrm {M} }A_{\lambda }|} .
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