対称代数

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対称代数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/09/11 14:41 UTC 版)

この項目では、ベクトル空間の対称代数について説明しています。フロベニウス形式が対称なフロベニウス代数については「フロベニウス代数」をご覧ください。

数学において、体 K 上のベクトル空間 V 上で定義される対称代数（たいしょうだいすう、英: symmetric algebra）S(V) あるいは Sym(V) は、V を含む K 上の自由（英語版）可換単位的結合代数である。

対称代数の元は、座標の取り方に依らず V の元を不定元とする多項式に対応する。このとき、対称代数の双対 S(V^∗) の元は V 上の多項式（函数）に対応する。

対称代数と V 上の対称テンソル空間とを混同してはならない。

対称代数の構成

対称代数 S(V) は V の基底ベクトルを不定元とする K 上の多項式環と実質的には同じものであることがあとでわかる。したがって、ここでの構成は対称代数を「自然に」多項式と看做す立場であれば余計な情報でしかないということになるが、これはこれでよい面もある。

対称代数 S(V) を記述するのにテンソル代数 T(V) を利用することができる。実際にはテンソル代数を強制的に可換化することで対称代数を作ることができる。V のいくつかの元が（T(V) の中で積に関して）可換ならば、それらの間でできるテンソルに関してもそうであり、それゆえテンソル代数 T(V) を

${\displaystyle v\otimes w-w\otimes v\quad (v,w\in V)}$

出典は列挙するだけでなく、脚注などを用いてどの記述の情報源であるかを明記してください。記事の信頼性向上にご協力をお願いいたします。（2023年9月）

• Bourbaki, Nicolas (1989), Elements of mathematics, Algebra I, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9 

関連項目

• 外積代数: 対称代数の非対称な類似物
• ワイル代数: 対称代数の斜交形式による量子変形
• クリフォード代数: 外積代数の二次形式による量子変形

表 話 編 歴 線型代数学・行列解析
連立一次方程式	ガウスの消去法 クラメルの公式 ガウス＝ザイデル法 ヤコビ法
ベクトル	線型独立 線型結合 基底 双対基底
ベクトル空間	双対空間 核空間 固有空間 広義固有空間 線型包 行空間 列空間 次元
計量ベクトル空間	ドット積 コーシー＝シュワルツの不等式 直交 正規直交系 正規直交基底 グラム・シュミットの正規直交化法 直交補空間
行列・線型写像	演算・操作 乗法 転置 逆行列 サラスの方法 基本変形 対角化 分解 LU QR コレスキー シューア 特異値 固有値 不変量 行列式 跡 階数 固有値と固有ベクトル 固有多項式 最小多項式 単因子 階数標準形 スミス標準形 ジョルダン標準形 有理標準形 小行列式 クラス 正則 基本 対称 エルミート 正規 直交 回転 ユニタリ 冪零 射影 正定値 ユニモジュラー 置換 区分
行列式	余因子展開 余因子行列 ヴァンデルモンドの行列式 終結式 コーシー・ビネの公式
多重線型代数	外積 外積代数 対称代数 テンソル代数
数値線形代数	基本的な概念 浮動小数点 数値的安定性 疎行列 Z-行列 M行列 条件数 ゲルシュゴリンの定理 クリロフ部分空間 ソフトウェア Matrix Laboratory Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS) LAPACK 数値解析ソフトの比較/一覧 ライブラリ Armadillo INTLAB OpenBLAS 線型代数学ライブラリの比較 反復法・技法 SOR法 共役勾配法 GMRES法 固有値問題の数値解法 ランチョス法 QR法 べき乗法 逆べき乗法 ヤコビ法 (固有値問題) シュトラッセンのアルゴリズム ハウスホルダー変換 ギブンス回転 人物 ジェームズ・H・ウィルキンソン クリーブ・モラー ニコラス・ハイアム ジーン・ゴラブ リチャード・バルガ
行列値関数	行列指数関数 行列の対数 行列の平方根
その他	スカラー ケイリー・ハミルトンの定理 ペロン＝フロベニウスの定理 シューア補行列 シルヴェスターの慣性法則