次数付け
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/02/11 00:01 UTC 版)
多項式環におけると同様に、対称代数 S(V) の次数付き代数としての直和分解 S ( V ) = ⨁ k = 0 ∞ S k ( V ) {\displaystyle S(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }S^{k}(V)} が存在する。ここで各 Sk(V) は V のベクトルからなる次数 k の単項式の線型結合全体からなる（ただし S0(V) = K, S1(V)=V とする)。K-線型空間 Sk(V) を V の k-次対称冪 (symmetric power)と呼ぶ。例えば k = 2 のときは対称平方と呼び、Sym2(V) で表す。k-次対称冪は Vk 上の対称（英語版）複線型作用素に関する普遍性を持つ。
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次数付け
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/09/06 10:18 UTC 版)
以降標数は 2 でないとする。 クリフォード代数は Z2-次数代数（超代数（英語版）としても知られている）である。実際、v ↦ −v によって定義される V 上の線型写像（原点を通る反射（英語版））は二次形式 Q を保存ししたがってクリフォード代数の普遍性によって代数自己同型 α: Cℓ(V, Q) → Cℓ(V, Q) に拡張する。α は対合（すなわち自乗すると恒等関数になる）であるから、Cℓ(V, Q) を α の正と負の固有空間に分解できる C ℓ ( V , Q ) = C ℓ 0 ( V , Q ) ⊕ C ℓ 1 ( V , Q ) {\displaystyle C\ell (V,Q)=C\ell ^{0}(V,Q)\oplus C\ell ^{1}(V,Q)} ただし Cℓi(V, Q) := {x ∈ Cℓ(V, Q) | α(x) = (−1)ix}。α は自己同型であるから C ℓ i ( V , Q ) C ℓ j ( V , Q ) = C ℓ i + j ( V , Q ) {\displaystyle C\ell ^{\,i}(V,Q)C\ell ^{\,j}(V,Q)=C\ell ^{\,i+j}(V,Q)} が従う、ただし右上の添え字は modulo 2 で読まれる。これは Cℓ(V, Q) に Z2-次数代数の構造を与える。部分空間 Cℓ0(V, Q) は Cℓ(V, Q) の部分代数をなし、偶部分代数 (even subalgebra) と呼ばれる。部分空間 Cℓ1(V, Q) は Cℓ(V, Q) の奇成分 (odd part) と呼ばれる（部分代数ではない）。この Z2-次数付けはクリフォード代数の解析と応用において重要な役割を果たす。自己同型 α は主対合 (main involution) あるいは次数付き対合 (grade involution) と呼ばれる。この Z2-次数付けにおいて pure な元は単に even あるいは odd と呼ばれる。 注意 標数が 2 でなければ Cℓ(V, Q) の基礎ベクトル空間は N-次数付けと Z-次数付けを外積代数 ⋀(V) の基礎ベクトル空間との自然な同型から受け継ぐ。しかしながら、これはベクトル空間の次数付けでしかないことに注意することは重要である。つまり、クリフォード乗法は N-次数付けや Z-次数付けをリスペクトせず、Z2-次数付けだけなのである： 例えば Q(v) ≠ 0 であれば v ∈ Cℓ1(V, Q) だが v2 ∈ Cℓ0(V, Q) であって Cℓ2(V, Q) に入らない。幸運なことに、次数付けは自然な方法で関係している： Z2 ≅N/2N≅ Z/2Z。さらに、クリフォード代数は Z-filtered（英語版）である： Cℓ≤i(V, Q) ⋅ Cℓ≤j(V, Q) ⊂ Cℓ≤i+j(V, Q)。クリフォード数の次数 (degree) は通常 N-次数付けにおける次数のことである。 クリフォード代数の偶部分代数 Cℓ0(V, Q) はそれある自身クリフォード代数に同型であるV がノルム Q(a) の部分空間 U のベクトル a の直交直和であれば、Cℓ0(V, Q) は Cℓ(U, −Q(a)Q) に同型である、ただし −Q(a)Q は U に制限され −Q(a) を掛けた形式 Q である。特に実数体上これは次を意味する C ℓ p , q 0 ( R ) ≅ C ℓ p , q − 1 ( R ) ( q > 0 ) , {\displaystyle C\ell _{p,q}^{0}(\mathbf {R} )\cong C\ell _{p,q-1}(\mathbf {R} )\quad (q>0),} C ℓ p , q 0 ( R ) ≅ C ℓ q , p − 1 ( R ) ( p > 0 ) {\displaystyle C\ell _{p,q}^{0}(\mathbf {R} )\cong C\ell _{q,p-1}(\mathbf {R} )\quad (p>0)} 負定値の場合にはこれは包含 Cℓ0,n−1(R) ⊂ Cℓ0,n(R) を与え、列を拡張する R ⊂ C ⊂ H ⊂ H ⊕ H ⊂ ⋯; 同様に、複素の場合には、Cℓn(C) の偶部分代数は Cℓn−1(C) に同型であることを示せる。
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