次数付き加群の不変量
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/09/22 20:34 UTC 版)
次数付き可換環 A 上の次数付き加群 M が与えられたとき、形式的ベキ級数 P ( M , t ) ∈ Z [ [ t ] ] {\displaystyle P(M,t)\in \mathbb {Z} [\![t]\!]} を関連付けることができる： P ( M , t ) = ∑ ℓ ( M n ) t n {\displaystyle P(M,t)=\sum \ell (M_{n})t^{n}} （ ℓ ( M n ) {\displaystyle \ell (M_{n})} は有限であると仮定している。）これは M のヒルベルト–ポアンカレ級数と呼ばれる。 次数付き加群は加群として有限生成なときに有限生成という。生成元は（斉次部分におきかえることで）斉次にとることができる。 k を体、A を多項式環 k [ x 0 , … , x n ] {\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{n}]} 、M を A 上有限生成な次数付き加群とする。このとき関数 n ↦ dim k M n {\displaystyle n\mapsto \dim _{k}M_{n}} は M のヒルベルト関数と呼ばれる。この関数は十分大きい n に対して M のヒルベルト多項式と呼ばれる整数値多項式（英語版）と一致する。
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